Seja V o conjunto de todas as matrizes A2 times 2=[lla & b c & d] tais que o produto abcd=0. Seja a operação oplus a soma de matrizes padrão e odot a multiplicação de matrizes por escalar padrão.
Toda matriz A em V possui um oposto que esteja em V? Explique.

Passo 1

O enunciado define
V = lA = a & b c & d;|;abcd = 0r,
com a adição usual de matrizes ( oplus) e multiplicação escalar ( odot).
Para que toda matriz Ain V tenha um oposto em V, precisamos mostrar que, se A satisfaz abcd=0, então -A também satisfaz essa condição.

Passo 2

Seja
A = a & b c & din V,
ou seja, abcd=0. O oposto de A na adição de matrizes é
-,A = -a & -b -c & -d
Agora calculamos o produto dos 4 elementos de -A:
(-a),(-b),(-c),(-d) = l((-a)(-b)r),l((-c)(-d)r) = (ab),(cd) = abcd
Como abcd=0, segue que ( -a)(-b)(-c)(-d)=0. Logo -A satisfaz a mesma condição e, portanto, -Ain V.

Resposta

Sim. Para cada
o oposto é
e como , temos .

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