Representação gráfica de retas e circunferências no plano
Represente graficamente as circunferências de equações a seguir, identificando centro, raio e diâmetro. A equação cartesiana é da forma x^2+y^2=R^2 (centro na origem O(0,0) e raio R ) ou da forma (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (centro no ponto (a, b) e raio R).
x^2+y^2-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que representar graficamente a circunferência dada pela equação x^2 + y^2 - 6y = 0 . Para isso, vamos identificar o centro, o raio e o diâmetro da circunferência. A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente a parte que trata das equações de círculos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da circunferência na forma padrão. A forma padrão da equação de uma circunferência é:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
onde (a, b) é o centro da circunferência e R é o raio.
Atualmente, nossa equação é:
x^2 + y^2 - 6y = 0
Vamos reorganizar os termos para completar o quadrado na variável y.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o termo que envolve y. Olha só:
y^2 - 6y
Para completar o quadrado, a gente pega o coeficiente de y, que é -6, divide por 2, ficando -3, e então eleva ao quadrado, ficando 9. Então, adicionamos e subtraímos 9 na equação:
x^2 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = 0
Isso simplifica para:
x^2 + (y - 3)^2 - 9 = 0
Agora, vamos isolar os termos quadrados:
x^2 + (y - 3)^2 = 9

Passo 4

Pronto! Agora a equação está na forma padrão:
(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 3^2
Comparando com a forma padrão (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, podemos identificar:
  • Centro: (a, b) = (0, 3)
  • Raio: R = 3
O diâmetro da circunferência é o dobro do raio, então:
Diâmetro = 2R = 2 times 3 = 6 â

Resposta

A circunferência representada pela equação x^2 + y^2 - 6y = 0 tem:
  • Centro: O(0, 3)
  • Raio: 3 unidades
  • Diâmetro: 6 unidades

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