Representando por t o número de anos após 2003, a população P da China, em bilhões de habitantes, pode ser aproximada pela função:
P=f(t)=1,291(1,006)^prime
Estime f(6) e f^prime(6), indicando as unidades. O que esses dois números dizem a respeito da população da China?

Passo 1

O enunciado define t como o número de anos após 2003 e dá a população da China em bilhões por
P = f(t) = 1,291,(1,006)^t
O conteúdo aqui é crescimento exponencial e a derivada f'(t) nos dará a taxa de variação instantânea em bilhões de habitantes por ano.

Passo 2

Para estimar f(6), basta substituir t=6:
f(6) = 1,291,(1,006)^6
Calculando:
(1,006)^6 approx 1,036538,
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f(6)approx 1,291 times 1,036538 approx 1,338
A unidade é bilhões de habitantes.

Passo 3

Para obter f'(t), aplicamos a regra da cadeia a f(t)=1,291,(1,006)^t:
f'(t)=1,291,(1,006)^tln(1,006)
Em t=6:
f'(6)=f(6),ln(1,006)approx 1,338 times 0,005982 approx 0,0080
A unidade é bilhões de habitantes por ano.

Passo 4

f(6)approx1,338 significa que em 2009 ( 2003+6 anos) a população da China era cerca de 1,338 bilhões de habitantes.
f'(6)approx0,0080 significa que naquele ano a população crescia a uma taxa de 0,0080 bilhões de habitantes por ano (ou seja, cerca de 8 milhões de habitantes ao ano).

Resposta

f(6)approx1,338 bilhões de habitantes
f'(6)approx0,0080 bilhões de habitantes por ano

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