Representar na forma trigonométrica:
-\cos \theta-i \sin \theta;

Passo 1

O enunciado fornece o número complexo -\cos\theta - i\sin\theta e pede para representá‑lo na forma trigonométrica.
Informações dadas:
  • A expressão é -\cos\theta - i\sin\theta.
  • A variável \theta é um ângulo (um número real) qualquer.
    O que devemos entregar:
  • A representação na forma trigonométrica r\big(\cos\varphi + i\sin\varphi\big), indicando o módulo r e o argumento \varphi (mod 2\pi).

Passo 2

Calcular o módulo r do número complexo.
Definição: para um número complexo z = x + i y, o módulo é \;r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;. Aqui x = -\cos\theta e y = -\sin\theta.
Portanto,
r = \sqrt{(-\cos\theta)^{2}+(-\sin\theta)^{2}} = \sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
r = \sqrt{1} = 1.
Explicação curta: a soma dos quadrados do cosseno e do seno é sempre 1, por isso o módulo é 1.

Passo 3

Determinar o argumento \varphi.
Observação: o número dado é exatamente o negativo de \cos\theta + i\sin\theta. Ou seja,
-\cos\theta - i\sin\theta = -\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Geometricamente, multiplicar por -1 corresponde a uma rotação de \pi (180°) no plano complexo. Logo o argumento do número é o argumento de \cos\theta + i\sin\theta (que é \theta) somado a \pi:
\varphi = \theta + \pi \quad (\text{mod }2\pi).
Também é possível verificar por fórmulas de adição de ângulo:
\cos(\theta+\pi)=\cos\theta\cos\pi-\sin\theta\sin\pi=-\cos\theta,
\sin(\theta+\pi)=\sin\theta\cos\pi+\cos\theta\sin\pi=-\sin\theta,
portanto
\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi) = -\cos\theta - i\sin\theta.

Passo 4

Escrever a forma trigonométrica final usando os valores encontrados para r e \varphi.
Como r=1 e \varphi=\theta+\pi, a representação trigonométrica é
1\big(\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi)\big),
que normalmente se escreve simplesmente como
\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi).
Também se pode escrever na forma exponencial de Euler como \mathrm{e}^{i(\theta+\pi)}.

Resposta

\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi)

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