Supondo 0<\theta<\pi, escreva na forma trigonométrica o complexo:
\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1+\cos \theta-i \sin \theta}

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever na forma trigonométrica o número complexo
\frac{1+\cos\theta+i\sin\theta}{1+\cos\theta-i\sin\theta},
com a condição dada \,0<\theta<\pi. Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é 1+\cos\theta+i\sin\theta.
  • O denominador é 1+\cos\theta-i\sin\theta.
  • O intervalo \,0<\theta<\pi garante que \cos(\theta/2)>0 (isso será útil para cancelamentos).

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas de ângulo metade. As duas identidades que precisamos são:
1+\cos\theta=2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad \sin\theta=2\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Explicando: a primeira vem da fórmula do cosseno duplo \cos\theta=2\cos^2(\theta/2)-1, isolando 1+\cos\theta. A segunda é a fórmula do seno do dobro: \sin\theta=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2). As variáveis:
  • \theta é o ângulo dado;
  • \theta/2 é o seu semiângulo, que pertence ao intervalo (0,\pi/2) porque 0<\theta<\pi.

Passo 3

Aplicando essas identidades ao numerador e ao denominador obtemos (mostrando passo a passo):
\text{numerador}=1+\cos\theta+i\sin\theta =2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\cdot 2\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Colocando fator comum 2\cos(\theta/2):
\text{numerador}=2\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\Big(\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\Big).
De forma análoga para o denominador:
\text{denominador}=1+\cos\theta-i\sin\theta =2\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\Big(\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)-i\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\Big).

Passo 4

Reconhecemos as expressões dentro dos parênteses como pontos na circunferência unitária: pela fórmula de Euler,
\cos\varphi+i\sin\varphi=\mathrm{e}^{i\varphi}, \qquad \cos\varphi-i\sin\varphi=\mathrm{e}^{-i\varphi}.
Aplicando com \varphi=\dfrac{\theta}{2} obtemos
\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\mathrm{e}^{i\theta/2}, \qquad \cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)-i\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\mathrm{e}^{-i\theta/2}.

Passo 5

Substituindo isso na fração e cancelando o fator comum 2\cos(\theta/2) (podemos cancelar porque \cos(\theta/2)>0 para 0<\theta<\pi), temos
\frac{1+\cos\theta+i\sin\theta}{1+\cos\theta-i\sin\theta} =\frac{2\cos(\theta/2)\,\mathrm{e}^{i\theta/2}}{2\cos(\theta/2)\,\mathrm{e}^{-i\theta/2}} =\frac{\mathrm{e}^{i\theta/2}}{\mathrm{e}^{-i\theta/2}}.
Usando a propriedade da exponencial complexa \mathrm{e}^{ia}/\mathrm{e}^{ib}=\mathrm{e}^{i(a-b)}, obtemos
\frac{\mathrm{e}^{i\theta/2}}{\mathrm{e}^{-i\theta/2}}=\mathrm{e}^{i\theta}.
Convertendo de volta para a forma trigonométrica padrão:
\mathrm{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 6

Interpretação final: o quociente é exatamente o número complexo na forma trigonométrica correspondente ao ângulo \theta. Isso significa que, na prova, ao ver um numerador e denominador do tipo 1+\cos\theta\pm i\sin\theta, uma boa estratégia é usar identidades de ângulo metade e Euler para simplificar rapidamente.

Resposta

\cos\theta+i\sin\theta

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