Supondo
, escreva na forma trigonométrica o complexo:
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever na forma trigonométrica o número complexo
com a condição dada
. Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O intervalo
garante que (isso será útil para cancelamentos).
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas de ângulo metade. As duas identidades que precisamos são:
Explicando: a primeira vem da fórmula do cosseno duplo
, isolando
. A segunda é a fórmula do seno do dobro:
. As variáveis:
-
é o ângulo dado; -
é o seu semiângulo, que pertence ao intervalo porque .
Passo 3
Aplicando essas identidades ao numerador e ao denominador obtemos (mostrando passo a passo):
Colocando fator comum
:
De forma análoga para o denominador:
Passo 4
Reconhecemos as expressões dentro dos parênteses como pontos na circunferência unitária: pela fórmula de Euler,
Aplicando com
obtemos
Passo 5
Substituindo isso na fração e cancelando o fator comum
(podemos cancelar porque
para
), temos
Usando a propriedade da exponencial complexa
, obtemos
Convertendo de volta para a forma trigonométrica padrão:
Passo 6
Interpretação final: o quociente é exatamente o número complexo na forma trigonométrica correspondente ao ângulo
. Isso significa que, na prova, ao ver um numerador e denominador do tipo
, uma boa estratégia é usar identidades de ângulo metade e Euler para simplificar rapidamente.