Escreva na forma trigonométrica:
-1+i;

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma trigonométrica.
Informação fornecida:
z = -1 + i.
O que se pede: expressar z na forma trigonométrica, isto é, como
r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
indicando r (módulo) e \theta (argumento), preferivelmente o argumento principal.

Passo 2

O que é a forma trigonométrica e como encontrá-la (aulas rápidas e claras).
Sempre que temos um número complexo z = a + bi, a forma trigonométrica é
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
onde:
r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}
é o módulo (distância do ponto (a,b) à origem) e \theta é o argumento, ou ângulo, tal que
\cos\theta = \frac{a}{r},\qquad \sin\theta = \frac{b}{r}.
Uma forma prática para achar \theta é calcular
\theta = \operatorname{atan2}(b,a),
ou usar \theta = \arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right) ajustando conforme o quadrante onde (a,b) está.

Passo 3

Identificar a e b para o número dado.
Do número z = -1 + i temos:
a = -1,\qquad b = 1.

Passo 4

Calcular o módulo r.
Aplicando a fórmula:
r = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.

Passo 5

Determinar o argumento \theta.
Calcule a tangente do ângulo de referência:
\left|\tan\theta_{\text{ref}}\right| = \left|\frac{b}{a}\right| = \left|\frac{1}{-1}\right| = 1.
Então o ângulo de referência é
\theta_{\text{ref}} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.
Agora ajuste para o quadrante: o ponto (a,b)=(-1,1) está no segundo quadrante (x negativo, y positivo). No segundo quadrante o ângulo principal é
\theta = \pi - \theta_{\text{ref}} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Passo 6

Montar a forma trigonométrica com os valores encontrados.
Substituindo r e \theta na expressão:
z = \sqrt{2}\Big(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\Big).

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule \cos e \sin e multiplique por r.
\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando por r=\sqrt{2}:
\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 + i,
confirma que a forma trigonométrica está correta.

Passo 8

Obs.: o argumento pode ser dado de forma geral adicionando 2k\pi, k\in\mathbb{Z}:
z = \sqrt{2}\Big(\cos\!\big(\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi\big) + i\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi\big)\Big).

Resposta

\sqrt{2}\big(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\big)

Exercícios relacionados