Representar na forma trigonométrica:
\sin \theta-i \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede para representar na forma trigonométrica o número complexo \sin\theta - i\cos\theta.
Informações dadas:
  • A expressão complexa é z=\sin\theta - i\cos\theta.
  • Queremos escrever z na forma trigonométrica padrão r\big(\cos\varphi + i\sin\varphi\big) (ou equivalentemente r e^{i\varphi}).

Passo 2

Identificar a parte real e a parte imaginária de z.
  • A parte real (coeficiente de 1) é \Re z=\sin\theta.
  • A parte imaginária (coeficiente de i) é \Im z=-\cos\theta.
Explicação curta: num complexo a+ib, a é a parte real e b é a parte imaginária. Aqui a=\sin\theta e b=-\cos\theta.

Passo 3

Calcular o módulo r=|z| usando a fórmula do módulo de um número complexo.
Fórmula: r=|z|=\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2}.
Aplicando aos valores encontrados:
r=\sqrt{(\sin\theta)^2+(-\cos\theta)^2} =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, obtemos
r=1.
Breve explicação da identidade: é a relação pitagórica entre seno e cosseno de um mesmo ângulo; é válida para todo \theta.

Passo 4

Determinar o argumento \varphi. Para a forma trigonométrica valem as igualdades
\cos\varphi=\frac{\Re z}{r},\qquad \sin\varphi=\frac{\Im z}{r}.
Como r=1, temos
\cos\varphi=\sin\theta, \qquad \sin\varphi=-\cos\theta.
Significado: queremos um ângulo \varphi cujo cosseno seja \sin\theta e cujo seno seja -\cos\theta.

Passo 5

Encontrar explicitamente \varphi usando identidades de ângulos.
Usar a identidade de cosseno de diferença:
\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\sin\theta\sin\tfrac{\pi}{2}.
Como \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{\pi}{2}=1, segue
\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\theta.
Usar a identidade de seno de diferença:
\sin\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{2}-\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{2} =0-\cos\theta=-\cos\theta.
Portanto o ângulo \varphi=\theta-\tfrac{\pi}{2} satisfaz exatamente as duas igualdades desejadas:
\cos\varphi=\sin\theta,\qquad \sin\varphi=-\cos\theta.
Observação sobre ambiguidade de argumento: podemos sempre adicionar 2k\pi ( k\in\mathbb{Z}) ao argumento sem alterar o número complexo. Assim \varphi=\theta-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi são todas soluções.

Passo 6

Escrever a forma trigonométrica final usando r=1 e \varphi=\theta-\tfrac{\pi}{2}.
Assim
\sin\theta-i\cos\theta=\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\sin\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Alternativas úteis (equivalentes):
\sin\theta-i\cos\theta = e^{i(\theta-\tfrac{\pi}{2})} = -i\,e^{i\theta}.
Pequena checagem numérica simples: para \theta=0 a expressão original dá 0-i\cdot1=-i. A forma encontrada com \theta-\tfrac{\pi}{2}=-\tfrac{\pi}{2} \cos(-\tfrac{\pi}{2})+i\sin(-\tfrac{\pi}{2})=0-i, que confere.

Resposta

\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\sin\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)

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