Representar na forma trigonométrica:
.
Passo 1
O enunciado pede para representar na forma trigonométrica o número complexo
.
Informações dadas:
- A expressão complexa é
. - Queremos escrever
na forma trigonométrica padrão (ou equivalentemente ).
Passo 2
Identificar a parte real e a parte imaginária de
.
- A parte real (coeficiente de
) é . - A parte imaginária (coeficiente de
) é .
Explicação curta: num complexo
,
é a parte real e
é a parte imaginária. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular o módulo
usando a fórmula do módulo de um número complexo.
Fórmula:
Aplicando aos valores encontrados:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
Breve explicação da identidade: é a relação pitagórica entre seno e cosseno de um mesmo ângulo; é válida para todo
.
Passo 4
Determinar o argumento
. Para a forma trigonométrica valem as igualdades
Como
, temos
Significado: queremos um ângulo
cujo cosseno seja
e cujo seno seja
.
Passo 5
Encontrar explicitamente
usando identidades de ângulos.
Usar a identidade de cosseno de diferença:
Como
e
, segue
Usar a identidade de seno de diferença:
Portanto o ângulo
satisfaz exatamente as duas igualdades desejadas:
Observação sobre ambiguidade de argumento: podemos sempre adicionar
(
) ao argumento sem alterar o número complexo. Assim
são todas soluções.
Passo 6
Escrever a forma trigonométrica final usando
e
.
Assim
Alternativas úteis (equivalentes):
Pequena checagem numérica simples: para
a expressão original dá
. A forma encontrada com
dá
, que confere.