Determine o conjunto das imagens dos complexos z tais que: \left|\frac{z+1}{z-i}\right| \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto das imagens dos complexos z tais que
\left|\frac{z+1}{z-i}\right| \leq 1.
Informações dadas:
A incógnita é z, número complexo.
A condição pode ser reescrita em termos de distâncias no plano complexo: \left|\dfrac{z+1}{z-i}\right|\le 1 é equivalente a |z+1|\le|z-i|.
Não há restrição explícita adicional sobre z (exceto que z\neq i quando aparece a fração, mas a desigualdade considerada em termos de módulos faz sentido mesmo ao comparar distâncias).
O que o enunciado pede:
Descrever geometricamente (conjunto das imagens) todos os z que satisfazem a desigualdade — isto é, a região do plano complexo (fechada, aberta, linha, semirreta, etc.).
Passo 2
Interpretação inicial e passo algébrico útil: escrever z em coordenadas reais para transformar a desigualdade em algo manipulável sem raízes.
Para evitar raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso preserva a desigualdade porque as raízes são não negativas):
(x+1)^2+y^2 \le x^2+(y-1)^2.
Passo 3
Expandir e simplificar a desigualdade quadrática para obter uma condição linear em x e y.
Expandindo:
(x+1)^2+y^2 = x^2+2x+1+y^2,
x^2+(y-1)^2 = x^2+y^2-2y+1.
Substituindo na desigualdade:
x^2+2x+1+y^2 \le x^2+y^2-2y+1.
Agora cancelam x^2, y^2 e 1 dos dois lados, restando
2x \le -2y.
Dividindo por 2 obtemos a forma mais simples:
x \le -y.
Passo 4
Reescrever a condição em linguagem geométrica e identificar o conjunto no plano complexo.
A desigualdade x\le -y é equivalente a
x+y \le 0.
Geometricamente, a igualdade x+y=0 é a reta de equação \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x+y=0\} (reta passando pela origem com declive -1). A desigualdade x+y\le0 representa o semiplano fechado que contém essa reta e todos os pontos do lado onde x+y é negativo.
Em termos do complexo z, se \Re(z) denota a parte real e \Im(z) a parte imaginária, a condição fica
\Re(z)+\Im(z)\le 0.
Passo 5
Interpretação alternativa (útil na prova): significado geométrico da igualdade e por que o lado escolhido é esse.
A condição |z+1|=|z-i| descreve os pontos equidistantes de -1 e de i. O lugar geométrico de pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz (perpendicular bisector) do segmento que une esses pontos. Essa mediatriz é justamente a reta x+y=0.
A desigualdade |z+1|\le|z-i| significa que o ponto z está no conjunto dos pontos cuja distância a -1 é menor ou igual à distância a i. Isso é precisamente o semiplano fechado contendo o ponto -1 (verificação rápido: para -1 temos x=-1,y=0 e -1+0\le0 é verdade), ou seja, o semiplano definido por x+y\le0.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
Para z=-1 (ponto dado): |z+1|=0\le|z-i| — logo está no conjunto.
Para z=i: a expressão original \left|\dfrac{z+1}{z-i}\right| não está definida (divisão por zero), mas a interpretação por distâncias dá |i+1|\le0 que é falsa; portanto z=i não pertence (e de fato não faz sentido na fração).
Para z=0: x+y=0+0=0 — ponto sobre a reta limite, pertence ao conjunto.