Representar graficamente os vetores u, v e w em R^3. Verificar se u, v e w são coplanares. No caso que u, v e w sejam coplanares, com base no gráfico dos vetores, eles estão contidos num plano ou numa reta?
u=(1,1,1), v=(1,2,3) e w=(2,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar em R^3 os vetores
u=(1,1,1), v=(1,2,3), w=(2,-1,1)
e verificar se eles são coplanares. Para isso precisamos usar o produto escalar misto (ou determinante das coordenadas), que vale zero exatamente quando os três vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Para representar graficamente, imagine um sistema de eixos x,y,z.
u=(1,1,1) aponta na diagonal que liga a origem ao vértice de um cubo de aresta 1.
v=(1,2,3) sobe mais em z e menos em x.
w=(2,-1,1) vai para x>0, y<0 e z>0.
Em cada caso, partimos da origem e marcamos o ponto correspondente às coordenadas, traçando o vetor.

Passo 3

Calculemos primeiro o vetor vtimes w:
vtimes w = (2cdot1-3cdot(-1),;3cdot2-1cdot1,;1cdot(-1)-2cdot2) = (5,5,-5)

Passo 4

Agora o produto escalar misto ucdot(vtimes w):
ucdot(vtimes w) = (1,1,1)cdot(5,5,-5) = 1cdot5+1cdot5+1cdot(-5) = 5

Passo 5

Como o produto escalar misto deu 5neq0, concluímos que u,v,w não são coplanares (eles formam base de R^3).

Resposta

Os vetores u, v e w não são coplanares.

Exercícios relacionados