Representar graficamente os vetores u, v e w em R^3. Verificar se u, v e w são coplanares. No caso que u, v e w sejam coplanares, com base no gráfico dos vetores, eles estão contidos num plano ou numa reta?
u=(5,3,2), v=(-2,-3,-1) e w=(0,1,3).

Passo 1

O enunciado pede para plotar graficamente em R^3 os vetores
u=(5,3,2), v=(-2,-3,-1), w=(0,1,3)
e verificar se eles são coplanares. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar triplo, que em R^3 coincide com o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas dos vetores. Se esse determinante for zero, eles são coplanares; caso contrário, não são.

Passo 2

Para desenhar os vetores, imagine um sistema de eixos cartesianos Oxyz. Cada vetor é representado por uma flecha que parte da origem O=(0,0,0) até o ponto de suas coordenadas:
u vai até (5,3,2), apontando para o “quadrante” onde x>0, y>0, z>0.
v vai até (-2,-3,-1), apontando para o octante oposto em tudo ( x<0,y<0,z<0).
w vai até (0,1,3), ou seja, está no plano x=0, subindo em y e z.

Passo 3

Calculemos o produto escalar triplo [u,v,w] como o determinante
det 5 & -2 & 0 3 & -3 & 1 2 & -1 & 3
Expandindo pela primeira linha:
5cdotdet-3 & 1-1 & 3 -(-2)cdotdet3 & 12 & 3 +0cdot(cdots)
Calculamos
det-3 & 1-1 & 3=(-3)cdot3-1cdot(-1)=-9+1=-8,
det3 & 12 & 3=3cdot3-1cdot2=9-2=7
Logo,
[u,v,w]=5cdot(-8)+2cdot7=-40+14=-26neq0

Passo 4

Como o produto escalar triplo é diferente de zero, concluímos que u, v e w não são coplanares. Em outras palavras, não existe nenhum plano (nem reta) que contenha simultaneamente as três setas desenhadas a partir da origem.

Resposta

Os vetores não são coplanares, pois [u,v,w]neq0. Portanto, eles não estão contidos nem em um plano nem em uma reta.

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