Seja um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.
Dependência linear:
1
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o conjunto u, v, w é LI, então u, u+v, u+v+w é LI.
(b) Se o conjunto u, v, w é LI, então u+2 v, u-v+3 w u+v+w é LI.
Passo 1
O sistema dado tem quatro incógnitas x1,x2,x3,x4 e a forma escalonada da matriz aumentada é
Para classificar o número de soluções, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes A com o posto da matriz aumentada (Amid b) e com o número de incógnitas n=4.
Passo 2
Condição para solução única:
Isso exige que todos os pivôs na matriz de coeficientes sejam não nulos, ou seja
As duas primeiras já implicam e , isto é
Passo 3
Condição para nenhuma solução:
Isso ocorre se numa linha da forma
tivermos . Verificamos os casos :
Se , então na segunda linha o pivô e o termo à direita . Logo inconsistente.
Se , então e . Também inconsistente.
Se , então em ambas as linhas onde o pivô seria zero (segunda e quarta) o termo à direita também é zero, mantendo consistência.
Portanto nenhuma solução para ou .
Passo 4
Condição para infinitas soluções:
Vimos que em o sistema permanece consistente mas perde pivôs nas colunas e , ficando . Logo há infinitas soluções exatamente para .
Passo 5
Resumo da parte do sistema linear:
única solução se alphaneq0,pm1,
nenhuma solução se alpha=0 ou alpha=1,
infinitas soluções se alpha=-1.
Passo 6
Agora a parte de dependência linear. Temos um conjunto LI vec u,vec v,vec w e dois subconjuntos a testar:
Passo 7
(a) Prova de que
Agrupando termos:
Como é LI, os coeficientes devem ser todos zero:
Da terceira equação ; da primeira . Logo só a combinação trivial existe e o conjunto é LI. Portanto verdadeira.
Passo 8
(b) Análise de
Isso dá o sistema
Da terceira equação . A primeira fica , que é , ou seja é livre. Tomando por exemplo , obtemos , não todos nulos, mas ainda assim
Portanto existe combinação não trivial que anula o conjunto, que é linearmente dependente. Logo a afirmação é falsa, e mostramos o contra-exemplo acima.
Resposta
Valores de alpha no sistema:
única solução: alphaneq0,pm1
nenhuma solução: alpha=0 ou alpha=1
infinitas soluções: alpha=-1