Seja A x=b um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.

Dependência linear:

1
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o conjunto u, v, w é LI, então u, u+v, u+v+w é LI.
(b) Se o conjunto u, v, w é LI, então u+2 v, u-v+3 w u+v+w é LI.

Passo 1

O sistema dado tem quatro incógnitas x1,x2,x3,x4 e a forma escalonada da matriz aumentada é
1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1)alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Para classificar o número de soluções, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes A com o posto da matriz aumentada (Amid b) e com o número de incógnitas n=4.

Passo 2

Condição para solução única:
Isso exige que todos os pivôs na matriz de coeficientes sejam não nulos, ou seja
As duas primeiras já implicam e , isto é

Passo 3

Condição para nenhuma solução:
Isso ocorre se numa linha da forma
tivermos . Verificamos os casos :
  • Se , então na segunda linha o pivô e o termo à direita . Logo inconsistente.
  • Se , então e . Também inconsistente.
  • Se , então em ambas as linhas onde o pivô seria zero (segunda e quarta) o termo à direita também é zero, mantendo consistência.
Portanto nenhuma solução para ou .

Passo 4

Condição para infinitas soluções:
Vimos que em o sistema permanece consistente mas perde pivôs nas colunas e , ficando . Logo há infinitas soluções exatamente para .

Passo 5

Resumo da parte do sistema linear:
  • única solução se alphaneq0,pm1,
  • nenhuma solução se alpha=0 ou alpha=1,
  • infinitas soluções se alpha=-1.

Passo 6

Agora a parte de dependência linear. Temos um conjunto LI vec u,vec v,vec w e dois subconjuntos a testar:

Passo 7

(a) Prova de que
Agrupando termos:
Como é LI, os coeficientes devem ser todos zero:
Da terceira equação ; da primeira . Logo só a combinação trivial existe e o conjunto é LI. Portanto verdadeira.

Passo 8

(b) Análise de
Isso dá o sistema
Da terceira equação . A primeira fica , que é , ou seja é livre. Tomando por exemplo , obtemos , não todos nulos, mas ainda assim
Portanto existe combinação não trivial que anula o conjunto, que é linearmente dependente. Logo a afirmação é falsa, e mostramos o contra-exemplo acima.

Resposta

Valores de alpha no sistema:
única solução: alphaneq0,pm1
nenhuma solução: alpha=0 ou alpha=1
infinitas soluções: alpha=-1
Dependência linear:
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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