Seja T: R^2 longrightarrow R^2 um reflexão, através da reta y=3 x.
(b) Determine a base B de R^2, tal que [T]B=[rr1 & 0 0 & -1]

Passo 1

O enunciado diz que T é a reflexão em torno da reta y=3x. Queremos achar uma base B de R^2 na qual a matriz de T seja
[T]B = 1 & 0 0 & -1
Isto significa que na base B um vetor é deixado inalterado ( lambda=1) e o outro é invertido de sinal ( lambda=-1).

Passo 2

Em toda reflexão, os vetores da direção da reta de reflexão são autovetores com autovalor +1, pois não se movem. A reta y=3x tem direção dada por qualquer múltiplo de
v1 = (1,3)
Logo T(v1)=v1 e lambda1=1.

Passo 3

O subespaço ortogonal à reta y=3x é composto de vetores que serão refletidos para o seu negativo, ou seja, têm autovalor -1. Um vetor perpendicular a v1=(1,3) satisfaz (1,3)cdot(x,y)=0. Por exemplo, podemos tomar
v2 = (3,-1),
já que 1cdot 3 + 3cdot(-1)=0. Então T(v2)=-,v2 e lambda2=-1.

Resposta

Uma escolha de base que diagonaliza T conforme pedido é
B = l(1,3),,(3,-1)r
Nessa base,
[T]B = 1 & 0 0 & -1

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