Seja um reflexão, através da reta .
(b) Determine a base de , tal que
Passo 1
O enunciado diz que T é a reflexão em torno da reta y=3x. Queremos achar uma base B de R^2 na qual a matriz de T seja
[T]B = 1 & 0 0 & -1
Isto significa que na base B um vetor é deixado inalterado (lambda=1) e o outro é invertido de sinal (lambda=-1).
Passo 2
Em toda reflexão, os vetores da direção da reta de reflexão são autovetores com autovalor +1, pois não se movem. A reta y=3x tem direção dada por qualquer múltiplo de
v1 = (1,3)
Logo T(v1)=v1 e lambda1=1.
Passo 3
O subespaço ortogonal à reta y=3x é composto de vetores que serão refletidos para o seu negativo, ou seja, têm autovalor -1. Um vetor perpendicular a v1=(1,3) satisfaz (1,3)cdot(x,y)=0. Por exemplo, podemos tomar
v2 = (3,-1),
já que 1cdot 3 + 3cdot(-1)=0. Então T(v2)=-,v2 e lambda2=-1.
Resposta
Uma escolha de base que diagonaliza T conforme pedido é