Represente na forma algébrica os seguintes números complexos:
(1+i)^{25}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma algébrica (a+bi) o número complexo (1+i)^{25}. O conteúdo que vamos usar é a representação polar de números complexos e o Teorema de De Moivre, que diz que, para um número complexo em forma polar
re^{i\theta},
temos
\bigl(re^{i\theta}\bigr)^n = r^n e^{i n\theta}.

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento de 1+i.
O módulo é
r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},
e o argumento, como \tan\theta = 1, é
\theta = \frac{\pi}{4}.
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1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.

Passo 3

Aplicamos De Moivre para elevar à potência 25:
(1+i)^{25} = \bigl(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\bigr)^{25} = (\sqrt{2})^{25}\;e^{i\,25\pi/4}.
Agora
(\sqrt{2})^{25} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{25} = 2^{25/2} = 2^{12+\tfrac12} = 2^{12}\sqrt{2} = 4096\sqrt{2}.
E o ângulo
25\frac{\pi}{4} = 6\cdot2\pi + \frac{\pi}{4} \implies e^{i\,25\pi/4} = e^{i\pi/4}.

Passo 4

Substituindo de volta,
(1+i)^{25} = 4096\sqrt{2}\;e^{i\pi/4} = 4096\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr).
Como \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
4096\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 4096\cdot\frac{2}{2} = 4096,
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(1+i)^{25} = 4096\,(1 + i).

Resposta

(1+i)^{25} = 4096 + 4096\,i.

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