Represente na forma polar os seguintes números complexos:
z=-\cos \left(\frac{\pi}{7}\right)+i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
z = -\cos\Bigl(\frac{\pi}{7}\Bigr) + i\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\pi}{7}\Bigr)
na forma polar, ou seja, encontrar seu módulo r e seu argumento \theta, de modo que
z = r\bigl[\cos(\theta) + i\,\operatorname{sen}(\theta)\bigr].

Passo 2

Calcular o módulo r usando
r = \sqrt{\bigl(\Re(z)\bigr)^2 + \bigl(\Im(z)\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{7})\bigr)^2 + \bigl(\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{7})\bigr)^2} = \sqrt{\cos^2(\tfrac{\pi}{7}) + \operatorname{sen}^2(\tfrac{\pi}{7})} = 1.

Passo 3

Determinar o argumento \theta. Temos \Re(z) = -\cos(\tfrac{\pi}{7})<0 e \Im(z)=\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{7})>0, logo \theta está no segundo quadrante. Além disso,
\bigl|\cos(\theta)\bigr| = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{7}\Bigr), \quad \operatorname{sen}(\theta) = \operatorname{sen}\Bigl(\tfrac{\pi}{7}\Bigr).
No segundo quadrante, o ângulo que satisfaz isso é
\theta = \pi - \frac{\pi}{7} = \frac{6\pi}{7}.

Passo 4

Portanto, em coordenadas polares,
r = 1, \quad \theta = \frac{6\pi}{7},
e assim
z = \cos\Bigl(\tfrac{6\pi}{7}\Bigr) + i\,\operatorname{sen}\Bigl(\tfrac{6\pi}{7}\Bigr) = e^{\,i\frac{6\pi}{7}}.

Resposta

z = 1\bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{6\pi}{7}\bigr) + i\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{6\pi}{7}\bigr)\bigr] \quad\text{(ou)}\quad z = e^{\,i\frac{6\pi}{7}}.

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