Represente na forma polar os seguintes números complexos:
z=\frac{3}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para colocar o número complexo
z = \frac{3}{2} - i\,\frac{\sqrt{3}}{2}
na forma polar.
Conteúdo: converter coordenadas retangulares (x,y) em coordenadas polares (r,\theta), em que
r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \theta = \arg(z).

Passo 2

Calcular o módulo r. Aqui x = \tfrac{3}{2} e y = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então
r = \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}.

Passo 3

Calcular o argumento \theta.
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
Isto indica \theta = \arctan\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = -\tfrac{\pi}{6}. Como x>0 e y<0, z está no quadrante IV, então o valor principal do argumento é
\theta = -\frac{\pi}{6}.

Passo 4

Escrever z na forma polar. Usando a forma trigonométrica:
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = \sqrt{3}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr).
Na forma exponencial de Euler:
z = \sqrt{3}\,e^{-i\pi/6}.

Resposta

z = \sqrt{3}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr) \quad\text{ou}\quad z = \sqrt{3}\,e^{-i\pi/6}.

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