Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
(Identidade do Paralelogramo)
|z+w|^{2}+|z-w|^{2}=2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right) (Interprete tal resultado geometricamente).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a chamada identidade do paralelogramo em \mathbb{C}:
|z+w|^{2} + |z-w|^{2} \;=\; 2\bigl(|z|^{2} + |w|^{2}\bigr).
O conteúdo envolve a definição do módulo via conjugado e cálculo algébrico, seguido de interpretação geométrica no plano complexo.

Passo 2

Calculemos \displaystyle |z+w|^{2} usando a definição |u|^{2}=u\,\overline{u}:
|z+w|^{2} \;=\;(z+w)\,\overline{(z+w)} \;=\;(z+w)\,(\overline{z}+\overline{w}) \;=\;z\overline{z} \;+\;z\overline{w}\;+\;w\overline{z}\;+\;w\overline{w}.

Passo 3

De modo análogo, para \displaystyle |z-w|^{2} temos
|z-w|^{2} =\;(z-w)\,\overline{(z-w)} =\;(z-w)\,(\overline{z}-\overline{w}) =\;z\overline{z}\;-\;z\overline{w}\;-\;w\overline{z}\;+\;w\overline{w}.

Passo 4

Somando as duas expressões, os termos mistos z\overline{w} e w\overline{z} se cancelam:
|z+w|^{2} + |z-w|^{2} = \bigl(z\overline{z}+w\overline{w}+z\overline{w}+w\overline{z}\bigr) + \bigl(z\overline{z}+w\overline{w}-z\overline{w}-w\overline{z}\bigr) = 2\,z\overline{z} + 2\,w\overline{w} = 2\bigl(|z|^{2}+|w|^{2}\bigr).

Passo 5

Geometricamente, no plano complexo vemos z e w como vetores que formam um paralelogramo. Os vetores z+w e z-w são as diagonais desse paralelogramo. A identidade mostra que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais é igual a duas vezes a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados.

Resposta

|z+w|^{2} + |z-w|^{2} = 2\bigl(|z|^{2} + |w|^{2}\bigr),
que afirma que, em qualquer paralelogramo, soma dos quadrados das diagonais = soma dos quadrados dos lados vezes 2.

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