Represente Geometricamente a imagem das funções a seguir:
a) F(t)=(sen(t), 1, cos (t))

Passo 1

O enunciado define uma curva FcolonRtoR^3 dada por
F(t) = (sin(t),,1,,cos(t))
Queremos encontrar a forma geométrica da imagem dessa curva, ou seja, o conjunto de pontos F(t)mid tinR. Para isso, vamos identificar em que superfície ou figura essa parametrização se insere.

Passo 2

Observe que a segunda coordenada de F(t) é sempre
y = 1
Isso significa que toda a curva está contida no plano
y=1

Passo 3

Projete a curva no plano x!z. As coordenadas x e z são
x = sin(t), z = cos(t)
Sabemos da trigonometria que esses pontos satisfazem
sin^2(t) + cos^2(t) = 1,
logo, na projeção ao plano x!z, a curva é o círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

Combinando os resultados, a imagem de F é o conjunto
l(x,y,z)inR^3 mid y=1,; x^2 + z^2 = 1r
Isto é exatamente um círculo de raio 1 contido no plano y=1, com centro em (0,1,0).

Resposta

A imagem de F(t) é o círculo de raio 1 no plano y=1, centrado em (0,1,0).

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