Sejam w=(2,-2,2,-2), v1=(1,1,0,0), v2=(0,-2,0,2), v3=(0,1,0,-1) vetores de R^4.
Mostre que os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
v1=(1,1,0,0), v2=(0,-2,0,2), v3=(0,1,0,-1),
e pede para mostrar que eles são linearmente dependentes. Para isso vamos usar a definição de dependência linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Por definição, v1,v2,v3 são linearmente dependentes se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha,v1 ;+;beta,v2;+;gamma,v3 =0

Passo 3

Observamos que
v2=(0,-2,0,2) e v3=(0,1,0,-1),
portanto
v2 + 2,v3 =(0,-2,0,2) + 2,(0,1,0,-1) =(0,-2+2,0,2-2) =(0,0,0,0),
ou seja, basta escolher alpha=0, beta=1 e gamma=2 para obter uma combinação não trivial que dá o vetor nulo.

Passo 4

Como encontramos escalares (alpha,beta,gamma)=(0,1,2), não todos nulos, que satisfazem
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0,
concluímos que v1,v2,v3 são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes pois, por exemplo,
v2 + 2,v3 = 0
é uma combinação não trivial que gera o vetor nulo.

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