Sejam w=(2,-2,2,-2), v1=(1,1,0,0), v2=(0,-2,0,2), v3=(0,1,0,-1) vetores de R^4.
Mostre que w não é uma combinação linear de v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores w=(2,-2,2,-2), v1=(1,1,0,0), v2=(0,-2,0,2) e v3=(0,1,0,-1) em R^4. Precisamos mostrar que não existem escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = w
Para isso, vamos comparar componente a componente desses vetores.

Passo 2

Se existir uma combinação alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = w, então olhando a terceira componente de cada vetor temos
(v1)3 ;=;0, (v2)3 ;=;0, (v3)3 ;=;0
Logo, a terceira componente da combinação vale
alphacdot 0 ;+;betacdot 0;+;gammacdot 0 ;=;0

Passo 3

Por outro lado, a terceira componente de w é 2. Para que a combinação existisse, precisaríamos ter
(alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3)3 ;=; w3 Longrightarrow 0 = 2,
o que é impossível. Portanto não há alpha,beta,gamma que satisfaçam a igualdade.

Resposta

Não existe combinação linear de v1,v2,v3 que gere w, logo wnotinSpanv1,v2,v3.

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