Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;|\operatorname{Im}(z)|>3}

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica no plano de Argand–Gauss do conjunto
\{z \in \mathbb{C} \mid |\operatorname{Im}(z)|>3\}.
O conteúdo aqui é interpretação de desigualdades envolvendo a parte imaginária de z=x+iy. Vamos usar que \operatorname{Im}(z)=y e estudar a região do plano onde |y|>3.

Passo 2

Transformamos a condição |\operatorname{Im}(z)|>3 em duas desigualdades simples, pois por definição
|y|>3\quad\Longleftrightarrow\quad y>3\quad\text{ou}\quad y<-3.
Em termos do conjunto, temos
\{z\in\mathbb{C}\mid|\operatorname{Im}(z)|>3\} =\{x+iy\mid y>3\}\;\cup\;\{x+iy\mid y<-3\}.

Passo 3

Para representar isso no plano complexo:
  1. Desenhe o eixo real horizontal \Re e o eixo imaginário vertical \Im.
  2. Trace as retas horizontais y=3 e y=-3 como linhas pontilhadas (pois o “ <” e “ >” indicam que não incluímos as próprias linhas).
  3. Sombreie toda a faixa acima de y=3 (região aberta em cima) e toda a faixa abaixo de y=-3 (região aberta em baixo).

Resposta

A região consiste em dois “bandos” abertos: um acima da reta y=3 e outro abaixo da reta y=-3. Em notação:
\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}(z)>3\}\;\cup\;\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}(z)<-3\}.

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