Sabendo que n \in \mathbb{N}(n \geq 2), verifique que:
(\sqrt{3}-i)^{n}=2^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{6}-i \operatorname{sen} \frac{n \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a potência de um número complexo na forma a+bi pode ser escrita em forma trigonométrica usando a fórmula de De Moivre. Aqui temos o complexo \sqrt{3}-i
e queremos provar que
(\sqrt{3}-i)^{n} =2^{n}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{6}-i\sin\frac{n\pi}{6}\Bigr).

Passo 2

Calculemos o módulo de \sqrt{3}-i.
r = \bigl|\sqrt{3}-i\bigr| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{3+1} =2.

Passo 3

Determine-se o argumento \theta de \sqrt{3}-i. No plano complexo, \sqrt{3}-i está no quarto quadrante, com
\tan\theta = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}},
o que corresponde a \theta = -\frac{\pi}{6} (ou equivalentemente \theta = \tfrac{11\pi}{6}).

Passo 4

Escrevendo então \sqrt{3}-i em forma trigonométrica:
\sqrt{3}-i = 2\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr).

Passo 5

Aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar à potência n:
(\sqrt{3}-i)^{n} =\Bigl[2\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr)\Bigr]^{n} =2^{n}\bigl(\cos(-\tfrac{n\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{n\pi}{6})\bigr).

Passo 6

Usamos as identidades pares/ímpares da trigonometria:
\cos(-\alpha)=\cos\alpha, \qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.
Isso dá
\cos\Bigl(-\tfrac{n\pi}{6}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\tfrac{n\pi}{6}\Bigr) =\cos\frac{n\pi}{6}-i\sin\frac{n\pi}{6}.

Resposta

(\sqrt{3}-i)^{n} =2^{n}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{6}-i\sin\frac{n\pi}{6}\Bigr).

Exercícios relacionados