Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|<1}

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica do conjunto \{\,z\in\mathbb{C}\mid|\Re(z)|+|\Im(z)|<1\}
no plano de Argand-Gauss. O conteúdo usado aqui é a interpretação de um número complexo como ponto (x,y) no plano real e a norma L^1, isto é, a “distância” de z à origem dada por |x|+|y|.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy com x=\Re(z) e y=\Im(z), a condição fica
|x|+|y|<1.
Esse tipo de desigualdade define um losango (um quadrado “em pé” no vértice) em coordenadas (x,y).

Passo 3

As retas que formam a fronteira do losango são dadas por
x+y=1,\quad x-y=1,\quad -x+y=1,\quad -x-y=1,
pois cada caso corresponde a escolher sinais para x e y de modo que |x|+|y|=1. A região interior satisfaz todas as quatro desigualdades simultaneamente:
x+y<1,\quad x-y<1,\quad -x+y<1,\quad -x-y<1.

Passo 4

A interseção dessas quatro metades de plano é o interior do losango de vértices
(1,0),\;(0,1),\;(-1,0),\;(0,-1).
Assim, o conjunto dado é justamente esse losango aberto.

Resposta

O conjunto \{z\in\mathbb{C}\mid|\Re(z)|+|\Im(z)|<1\} é o interior do losango de vértices em (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1) no plano de Argand-Gauss.

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