Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=0\right}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano complexo o lugar geométrico \{\,z\in\mathbb{C}\mid \Im(z^2)=0\}.
Aqui vamos usar a forma cartesiana z=x+iy, expandir z^2 e impor que a parte imaginária seja zero.

Passo 2

Escrevemos
z = x + i y,
então
z^2 = (x + i y)^2 = x^2 + 2i x y - y^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy).

Passo 3

Da expressão acima vemos que
\Im(z^2) = 2\,x\,y.
A condição \Im(z^2)=0 fica
2\,x\,y = 0.

Passo 4

A equação 2xy=0 leva a
x\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x=0\bigr)\;\text{ou}\;\bigl(y=0\bigr).
Isto significa que z é ou puramente imaginário (x=0) ou real (y=0).

Passo 5

Geomtricamente, o conjunto é a união do eixo real (reta y=0) com o eixo imaginário (reta x=0) no plano de Argand–Gauss.

Resposta

O lugar geométrico é a união do eixo real e do eixo imaginário no plano complexo.

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