Represente geometricamente o sólido cuja massa pode ser calculada, em coordenadas cilíndricas, pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado nos dá a massa do sólido
em coordenadas cilíndricas
.
Conteúdo: reconhecimento das superfícies que limitam o sólido e mudança para coordenadas esféricas.
Conteúdo: reconhecimento das superfícies que limitam o sólido e mudança para coordenadas esféricas.
Passo 2
Identificamos as superfícies que limitam o sólido em cilíndricas:
- Limite inferior
, uma parábola de revolução (paraboloide). - Limite superior
, que ao quadrarmos dá
uma semiesfera alongada (um elipsoide de revolução).
O sólido é portanto o conjunto de pontos que satisfazem
O sólido é portanto o conjunto de pontos que satisfazem
Passo 3
Em palavras, o sólido é a porção de interior do elipsoide
que fica acima do paraboloide
As duas superfícies se intersectam quando
, o que leva a
e
.
Passo 4
Passamos para coordenadas esféricas
com
O integrando
vira
e o jacobiano é
. Portanto o elemento de volume é
Passo 5
Expressamos as duas superfícies em esféricas:
Elipsoide
Paraboloide
válido para
em que
.
Passo 6
Para cada direção
há dois casos:
- Se
, então e o raio começa em 0. Logo - Se
, então o paraboloide vem acima do feixe e o intervalo é
A divisão em
aparece pois é o ângulo da reta que tangencia as duas superfícies simultaneamente (o ponto de interseção
dá
).
Passo 7
Juntando tudo, escrevemos
como soma de dois integrais em esféricas:
onde