Represente geometricamente o sólido cuja massa pode ser calculada, em coordenadas cilíndricas, pela expressão
M=integral0^2 pi integral0^raiz3 integralr^23^raiz10-3 r^2(r+z) d z d r d theta
A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado nos dá a massa do sólido
M=integral0^2piintegral0^raiz3integral,r^2/3^raiz10-3r^2 (r+z),dz,dr,dtheta
em coordenadas cilíndricas (r,theta,z).
Conteúdo: reconhecimento das superfícies que limitam o sólido e mudança para coordenadas esféricas.

Passo 2

Identificamos as superfícies que limitam o sólido em cilíndricas:
  1. Limite inferior z = tfracr^23, uma parábola de revolução (paraboloide).
  2. Limite superior z = raiz10 - 3r^2, que ao quadrarmos dá
z^2 + 3r^2 = 10,
uma semiesfera alongada (um elipsoide de revolução).
O sólido é portanto o conjunto de pontos que satisfazem
0 <= r <= raiz3, r^23 <= z <= raiz10-3r^2, 0<=theta<=2pi

Passo 3

Em palavras, o sólido é a porção de interior do elipsoide
z^2 + 3r^2 <= 10
que fica acima do paraboloide
z >= r^23
As duas superfícies se intersectam quando r^2/3 = raiz10-3r^2, o que leva a r=raiz3 e z=1.

Passo 4

Passamos para coordenadas esféricas (rho,phi,theta) com
r = rhosinphi, z=rhocosphi, 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi2
O integrando r+z vira
r+z = rhosinphi + rhocosphi = rho,(sinphi+cosphi),
e o jacobiano é rho^2sinphi. Portanto o elemento de volume é
(r+z),dz,dr,dtheta ;longrightarrow; rho,(sinphi+cosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta = rho^3(sinphi+cosphi)sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Expressamos as duas superfícies em esféricas:
Elipsoide
z^2+3r^2=10 ;Longrightarrow; rho^2(cos^2phi + 3sin^2phi) = 10 ;Longrightarrow; rho ;=;rho2(phi) ;=;raiz10cos^2phi + 3sin^2phi
Paraboloide
z = r^23 ;Longrightarrow; rhocosphi = rho^2sin^2phi3 ;Longrightarrow; rho = rho1(phi) ;=;3cosphisin^2phi,
válido para phi em que rho1<=rho2.

Passo 6

Para cada direção phi há dois casos:
  1. Se 0<=phi<=pi3, então rho1(phi)> rho2(phi) e o raio começa em 0. Logo 0 <= rho <= rho2(phi)
  2. Se pi3<=phi<=pi2, então o paraboloide vem acima do feixe e o intervalo é rho1(phi)<= rho <= rho2(phi)
A divisão em phi=pi/3 aparece pois é o ângulo da reta que tangencia as duas superfícies simultaneamente (o ponto de interseção r=raiz3,z=1 phi=arccos(1/2)=pi/3).

Passo 7

Juntando tudo, escrevemos M como soma de dois integrais em esféricas:
M = integral0^2pi gl[ integral0^pi/3 integral0^rho2(phi) rho^3(sinphi+cosphi)sinphi ,drho + integralpi/3^pi/2 integralrho1(phi)^rho2(phi) rho^3(sinphi+cosphi)sinphi ,drho gr] ,dphi,dtheta,
onde
rho1(phi)=3cosphisin^2phi, rho2(phi)=raiz10cos^2phi + 3sin^2phi

Resposta

M = integral0^2pi ( integral0^pi/3 integral0^raiz10cos^2phi+3sin^2phi rho^3(sinphi+cosphi)sinphi ,drho ;+; integralpi/3^pi/2 integral3cosphisin^2phi^raiz10cos^2phi+3sin^2phi rho^3(sinphi+cosphi)sinphi ,drho ) dphi,dtheta

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