Represente graficamente os números
.
Passo 1
O enunciado pede que eu represente graficamente o número complexo
.\n
Informações dadas no enunciado:
\ \ O número complexo é
.\n
\ \ Não há figura anexada nem instrução adicional — devo interpretar
da forma usual.\n
Pergunta clara: desenhar (ou descrever) a posição desse número no plano complexo (plano de Argand), ou seja, encontrar as coordenadas do ponto correspondente e, se útil, sua forma polar (módulo e argumento).
Informações dadas no enunciado:
Pergunta clara: desenhar (ou descrever) a posição desse número no plano complexo (plano de Argand), ou seja, encontrar as coordenadas do ponto correspondente e, se útil, sua forma polar (módulo e argumento).
Passo 2
Entender e calcular
.\n
A raiz cúbica de um número real negativo tem uma raiz real negativa (raiz de índice ímpar). Portanto a raiz cúbica real de é o negativo da raiz cúbica de
. Em símbolos:
A raiz cúbica de um número real negativo tem uma raiz real negativa (raiz de índice ímpar). Portanto a raiz cúbica real de
Agora faço
. Note que
, então
Logo
Aqui eu usei propriedades de potências e a observação
. Isso é exato e evita aproximações prematuras.
Passo 3
Escrever o número complexo na forma
(coordenadas cartesianas).\n
Substituindo o resultado do passo anterior em , obtenho
Substituindo o resultado do passo anterior em
Portanto a parte real é
e a parte imaginária é
. No plano complexo (Argand) isso corresponde ao ponto com coordenadas
Passo 4
Calcular aproximação numérica das coordenadas para ajudar na representação gráfica.\n
Calcule aproximadamente:
. Multiplicando por
:
Calcule
Assim as coordenadas aproximadas do ponto são
Na prática para desenhar no papel você marca no eixo real
o valor
(aprox.) e no eixo imaginário
o valor
, e plota o ponto correspondente.
Passo 5
Explicar como posicionar o ponto no plano e dar uma descrição geométrica simples.\n
No plano complexo:
-eixo = eixo das partes reais,
-eixo = eixo das partes imaginárias.\n
O ponto está à esquerda da origem (porque a parte real é negativa) e um pouco acima do eixo real (porque a parte imaginária é
). Esquematicamente:
Vá para
no eixo real, depois suba até
. Esse é o ponto que representa
.
No plano complexo:
O ponto
Passo 6
Calcular o módulo (distância ao ponto de origem) e o argumento (ângulo) — forma polar — por completude didática.\n
Fórmula do módulo: para um número ,
Fórmula do módulo: para um número
Aqui
e
. Então
Aproximando numericamente:
Fórmula do argumento:
. Podemos usar
porque
e
(segundo quadrante).\n
Calculo:
Calculo:
Portanto
Assim a forma polar aproximada é
ou, usando exponencial,
Passo 7
Resumo prático para desenhar na prova (passo a passo que você faria à mão):\n
\ Calcule a parte real:
(ou calcule a aproximação
).\n
\ A parte imaginária é
.\n
\ No papel, marque o eixo real, vá até
e suba até
; esse ponto é a representação.\n
\ Se pedirem forma polar, calcule
e
e escreva
.
Resposta
Ponto no plano complexo (forma cartesiana):
.\n
Aproximação cartesiana: .\n
Forma polar aproximada: (ou
).
Aproximação cartesiana:
Forma polar aproximada: