Represente graficamente os números i+\sqrt[3]{-81}.

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente o número complexo i+\sqrt[3]{-81}.\n
Informações dadas no enunciado:
\;1.\ \ O número complexo é i+\sqrt[3]{-81}.\n
\;2.\ \ Não há figura anexada nem instrução adicional — devo interpretar \sqrt[3]{-81} da forma usual.\n
Pergunta clara: desenhar (ou descrever) a posição desse número no plano complexo (plano de Argand), ou seja, encontrar as coordenadas do ponto correspondente e, se útil, sua forma polar (módulo e argumento).

Passo 2

Entender e calcular \sqrt[3]{-81}.\n
A raiz cúbica de um número real negativo tem uma raiz real negativa (raiz de índice ímpar). Portanto a raiz cúbica real de -81 é o negativo da raiz cúbica de 81. Em símbolos:
\sqrt[3]{-81} = -\sqrt[3]{81}.
Agora faço \sqrt[3]{81}. Note que 81=3^4, então
\sqrt[3]{81} = (3^4)^{1/3} = 3^{4/3} = 3\cdot 3^{1/3} = 3\sqrt[3]{3}.
Logo
\sqrt[3]{-81} = -3\sqrt[3]{3}.
Aqui eu usei propriedades de potências e a observação 81=3^4. Isso é exato e evita aproximações prematuras.

Passo 3

Escrever o número complexo na forma a+bi (coordenadas cartesianas).\n
Substituindo o resultado do passo anterior em i+\sqrt[3]{-81}, obtenho
i+\sqrt[3]{-81} = i - 3\sqrt[3]{3}.
Portanto a parte real é a = -3\sqrt[3]{3} e a parte imaginária é b = 1. No plano complexo (Argand) isso corresponde ao ponto com coordenadas
\bigl(-3\sqrt[3]{3},\,1\bigr).

Passo 4

Calcular aproximação numérica das coordenadas para ajudar na representação gráfica.\n
Calcule \sqrt[3]{3} aproximadamente: \sqrt[3]{3}\approx 1,442249. Multiplicando por 3:
-3\sqrt[3]{3}\approx -4,326747.
Assim as coordenadas aproximadas do ponto são
(-4,326747,\;1).
Na prática para desenhar no papel você marca no eixo real x o valor -4,33 (aprox.) e no eixo imaginário y o valor 1, e plota o ponto correspondente.

Passo 5

Explicar como posicionar o ponto no plano e dar uma descrição geométrica simples.\n
No plano complexo:
\;x-eixo = eixo das partes reais, \;y-eixo = eixo das partes imaginárias.\n
O ponto (-3\sqrt[3]{3},1) está à esquerda da origem (porque a parte real é negativa) e um pouco acima do eixo real (porque a parte imaginária é +1). Esquematicamente:
\; \bullet Vá para x\approx -4,33 no eixo real, depois suba até y=1. Esse é o ponto que representa i+\sqrt[3]{-81}.

Passo 6

Calcular o módulo (distância ao ponto de origem) e o argumento (ângulo) — forma polar — por completude didática.\n
Fórmula do módulo: para um número a+bi,
r=\sqrt{a^2+b^2}.
Aqui a=-3\sqrt[3]{3} e b=1. Então
r=\sqrt{(-3\sqrt[3]{3})^2+1^2}=\sqrt{9\cdot 3^{2/3}+1}.
Aproximando numericamente:
r\approx\sqrt{(-4,326747)^2+1^2}\approx\sqrt{18,714+1}\approx\sqrt{19,714}\approx 4,4402.
Fórmula do argumento: \theta=\operatorname{atan2}(b,a). Podemos usar \theta=\pi-\arctan\bigl(\tfrac{b}{|a|}\bigr) porque a<0 e b>0 (segundo quadrante).\n
Calculo:
\arctan\!\biggl(\frac{1}{3\sqrt[3]{3}}\biggr)\approx\arctan(0,231049)\approx 0,226\\ \text{rad}.
Portanto
\theta\approx \pi-0,226\approx 2,916\\ \text{rad}\approx 167,05^\circ.
Assim a forma polar aproximada é
4,4402\bigl(\cos(2,916)+i\sin(2,916)\bigr)
ou, usando exponencial,
4,4402\,e^{i\,2,916}.

Passo 7

Resumo prático para desenhar na prova (passo a passo que você faria à mão):\n
\;1.\ Calcule a parte real: \sqrt[3]{-81}=-3\sqrt[3]{3} (ou calcule a aproximação -4,33).\n
\;2.\ A parte imaginária é +1.\n
\;3.\ No papel, marque o eixo real, vá até -4,33 e suba até 1; esse ponto é a representação.\n
\;4.\ Se pedirem forma polar, calcule r=\sqrt{(-3\sqrt[3]{3})^2+1} e \theta=\pi-\arctan\bigl(1/(3\sqrt[3]{3})\bigr) e escreva r(\cos\theta+i\sin\theta).

Resposta

Ponto no plano complexo (forma cartesiana): \bigl(-3\sqrt[3]{3},\,1\bigr).\n
Aproximação cartesiana: (-4,326747,\;1).\n
Forma polar aproximada: 4,4402\bigl(\cos(2,916)+i\sin(2,916)\bigr) (ou 4,4402\,e^{i\,2,916}).

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