Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações fornecidas: o número complexo dentro da potência é e o expoente é
.
Objetivo: obter a forma algébrica e o valor numérico de .
Informações fornecidas: o número complexo dentro da potência é
Objetivo: obter a forma algébrica e o valor numérico de
Passo 2
Explicação da 1ª fórmula de Moivre (didática): a fórmula diz que, para um número complexo escrito na forma polar
, temos
onde
é o módulo (distância ao zero) e
é o argumento (ângulo) do número complexo.
Por que isso funciona (intuição): primeiro elevando o módulo a multiplicamos distâncias; segundo, ao multiplicar números complexos em forma trigonométrica somam-se os ângulos, então o argumento fica
. A parte trigonométrica usa a identidade de soma de ângulos para justificar a fórmula recursivamente.
Por que isso funciona (intuição): primeiro elevando o módulo a
Passo 3
Converter
para a forma polar: calcular módulo
e argumento
.
O número tem parte real
e parte imaginária
. O módulo é
O número
O argumento
é o ângulo cujo cosseno é
e seno é
, ou seja
Logo podemos escrever (pegando essa informação)
Passo 4
Aplicar a fórmula de Moivre com
,
e
:
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Calcular o ângulo
e reduzi-lo a um ângulo equivalente em
para avaliar cosseno e seno.
Subtraindo
obtemos um ângulo equivalente:
Portanto
e
.
Passo 7
Substituir os valores trigonométricos na expressão:
Passo 8
Verificação alternativa (rápida): como
, temos
. Usando potências de
:
e
. Assim
, confirma o resultado anterior.