Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
\mathrm{z}=(2 \mathrm{i})^{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathrm{z}=(2\mathrm{i})^{7}.
Informações fornecidas: o número complexo dentro da potência é 2\mathrm{i} e o expoente é 7.
Objetivo: obter a forma algébrica e o valor numérico de \mathrm{z}.

Passo 2

Explicação da 1ª fórmula de Moivre (didática): a fórmula diz que, para um número complexo escrito na forma polar \,r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\,, temos
\bigl(r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\bigr),
onde r é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo) do número complexo.
Por que isso funciona (intuição): primeiro elevando o módulo a n multiplicamos distâncias; segundo, ao multiplicar números complexos em forma trigonométrica somam-se os ângulos, então o argumento fica n\theta. A parte trigonométrica usa a identidade de soma de ângulos para justificar a fórmula recursivamente.

Passo 3

Converter 2\mathrm{i} para a forma polar: calcular módulo r e argumento \theta.
O número 2\mathrm{i} tem parte real 0 e parte imaginária 2. O módulo é
r=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.
O argumento \theta é o ângulo cujo cosseno é 0 e seno é 1, ou seja
\theta=\frac{\pi}{2}.
Logo podemos escrever (pegando essa informação)
2\mathrm{i}=2\bigl(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Aplicar a fórmula de Moivre com r=2, \theta=\frac{\pi}{2} e n=7:
(2\mathrm{i})^{7}=\bigl(2(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2})\bigr)^{7} =2^{7}\bigl(\cos(7\cdot\frac{\pi}{2})+\mathrm{i}\sin(7\cdot\frac{\pi}{2})\bigr).

Passo 5

Calcular 2^{7}:
2^{7}=128.

Passo 6

Calcular o ângulo 7\cdot\frac{\pi}{2} e reduzi-lo a um ângulo equivalente em [0,2\pi) para avaliar cosseno e seno.
7\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{2}.
Subtraindo 2\pi=\frac{4\pi}{2} obtemos um ângulo equivalente:
\frac{7\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}.
Portanto \cos\frac{7\pi}{2}=\cos\frac{3\pi}{2}=0 e \sin\frac{7\pi}{2}=\sin\frac{3\pi}{2}=-1.

Passo 7

Substituir os valores trigonométricos na expressão:
(2\mathrm{i})^{7}=128\bigl(\cos\frac{7\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{2}\bigr) =128\bigl(0+\mathrm{i}(-1)\bigr)=128(-\mathrm{i})=-128\mathrm{i}.

Passo 8

Verificação alternativa (rápida): como 2\mathrm{i}=2\cdot\mathrm{i}, temos (2\mathrm{i})^{7}=2^{7}\mathrm{i}^{7}=128\mathrm{i}^{7}. Usando potências de \mathrm{i}: \mathrm{i}^{4}=1 e \mathrm{i}^{7}=\mathrm{i}^{4}\mathrm{i}^{3}=1\cdot\mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}. Assim 128\mathrm{i}^{7}=128(-\mathrm{i})=-128\mathrm{i}, confirma o resultado anterior.

Resposta

-128\mathrm{i}

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