Resolva as seguintes equações no campo dos
3 \mathrm{x}^{3}-192=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
3x^{3}-192=0.
O que se pede é resolver essa equação, ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade.
Informações relevantes dadas: a equação polinomial cúbica 3x^{3}-192=0. Nenhuma outra condição foi imposta.

Passo 2

Isolamos o termo com x. Para isso somamos 192 e dividimos por 3. Aplicando operações elementares:
3x^{3}-192=0 \implies 3x^{3}=192 \implies x^{3}=\frac{192}{3}.
Calculando a divisão:
\frac{192}{3}=64,
portanto chegamos a
x^{3}=64.

Passo 3

Agora precisamos achar todas as raízes cúbicas de 64, ou seja, todos os x tais que x^{3}=64. Vou explicar dois caminhos equivalentes e intuitivos.
Primeiro (mais direto): note que 64 é 4^{3} porque 4\cdot4\cdot4=64. Logo um solução real é x=4.
Segundo (mais geral, útil na prova): em números complexos, as soluções de \,x^{3}=R com R>0 podem ser obtidas escrevendo R em forma polar e aplicando De Moivre. Como 64=64\cdot e^{i0}, as três raízes cúbicas são
x_k = \sqrt[3]{64}\, e^{i(0+2\pi k)/3},\qquad k=0,1,2.
Aqui \sqrt[3]{64}=4. Os fatores e^{i2\pi k/3} são as raízes cúbicas da unidade (os chamados fatores \omega^{k}), que giram a solução principal pelas três posições igualmente espaçadas no círculo de raio 4.

Passo 4

Vamos explicar o que são as raízes cúbicas da unidade e calculá-las explicitamente. As raízes cúbicas da unidade são as soluções de \,z^{3}=1. Uma delas é 1. As outras duas chamamos de \omega e \omega^{2}, com
\omega = e^{i2\pi/3} = -\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \omega^{2} = e^{i4\pi/3} = -\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Essas expressões vêm da identidade trigonométrica e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta (fórmula de Euler). Verifique que \omega^{3}=1.
Portanto as três raízes de x^{3}=64 são
x_{0}=4\cdot 1 =4,
x_{1}=4\cdot \omega =4\left(-\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),
x_{2}=4\cdot \omega^{2} =4\left(-\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Agora fazemos as multiplicações e simplificações para escrever as raízes na forma a+bi (parte real e imaginária claras).
Para x_{1}:
x_{1}=4\left(-\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 4\cdot i\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =-2 + 2i\sqrt{3}.
Para x_{2}:
x_{2}=4\left(-\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =-2 - 2i\sqrt{3}.
Portanto as três soluções são 4, -2+2i\sqrt{3} e -2-2i\sqrt{3}.

Passo 6

Vou verificar de forma rápida (mental e conceitual) que essas soluções funcionam: 4^{3}=64 claro. Para x_{1} temos |x_{1}|=4 e argumento \arg(x_{1})=2\pi/3; elevando ao cubo a magnitude vira 4^{3}=64 e o argumento vira 3\cdot 2\pi/3=2\pi, que corresponde a 64\cdot e^{i2\pi}=64. O mesmo vale para x_{2}. Outra verificação curta é usar que \omega^{3}=1, então (4\omega)^{3}=4^{3}\omega^{3}=64\cdot1=64.

Resposta

x=4
x=-2+2i\sqrt{3}
x=-2-2i\sqrt{3}

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