Resolva as seguintes equações no campo dos
3 \mathrm{x}^{3}-192=0
3 \mathrm{x}^{3}-192=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
.
O que se pede é resolver essa equação, ou seja, encontrar todos os valores de que satisfazem a igualdade.
Informações relevantes dadas: a equação polinomial cúbica . Nenhuma outra condição foi imposta.
O que se pede é resolver essa equação, ou seja, encontrar todos os valores de
Informações relevantes dadas: a equação polinomial cúbica
Passo 2
Isolamos o termo com
. Para isso somamos
e dividimos por
. Aplicando operações elementares:
Calculando a divisão:
portanto chegamos a
Passo 3
Agora precisamos achar todas as raízes cúbicas de
, ou seja, todos os
tais que
. Vou explicar dois caminhos equivalentes e intuitivos.
Primeiro (mais direto): note que
é
porque
. Logo um solução real é
.
Segundo (mais geral, útil na prova): em números complexos, as soluções de
com
podem ser obtidas escrevendo
em forma polar e aplicando De Moivre. Como
, as três raízes cúbicas são
Aqui
. Os fatores
são as raízes cúbicas da unidade (os chamados fatores
), que giram a solução principal pelas três posições igualmente espaçadas no círculo de raio
.
Passo 4
Vamos explicar o que são as raízes cúbicas da unidade e calculá-las explicitamente. As raízes cúbicas da unidade são as soluções de
. Uma delas é
. As outras duas chamamos de
e
, com
Essas expressões vêm da identidade trigonométrica
(fórmula de Euler). Verifique que
.
Portanto as três raízes de
são
Passo 5
Agora fazemos as multiplicações e simplificações para escrever as raízes na forma a+bi (parte real e imaginária claras).
Para
:
Para
:
Portanto as três soluções são
,
e
.
Passo 6
Vou verificar de forma rápida (mental e conceitual) que essas soluções funcionam:
claro. Para
temos
e argumento
; elevando ao cubo a magnitude vira
e o argumento vira
, que corresponde a
. O mesmo vale para
. Outra verificação curta é usar que
, então
.