Represente o gráfico da função,dada sua expressão:
z=-raiz1-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o gráfico da função
z = -raiz1 - x^2 - y^2
Isso é um problema de superfícies em R^3. Para desenhar ou entender o formato, precisamos achar o domínio e reconhecer a forma geométrica que surge dessa equação.

Passo 2

Determinar o domínio de definição. Como temos a raiz quadrada de 1 - x^2 - y^2, é preciso que
1 - x^2 - y^2 ;>=; 0
Logo o domínio D é o disco fechado de raio 1 no plano xy:
D = l(x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 <= 1r

Passo 3

Reescrevendo a equação isolando o radical e elevando ao quadrado, temos
z = -raiz1 - x^2 - y^2 Longrightarrow z^2 = 1 - x^2 - y^2 Longrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 1
com a condição extra z <= 0 (pois z sai negativo da raiz). Portanto é exatamente a metade inferior da esfera unitária centrada na origem.

Passo 4

Uma forma de parametrizar a superfície é usar coordenadas esféricas restritas à parte inferior:
x = sinphi,costheta, y = sinphi,sintheta, z = -cosphi,
onde 0 <= phi <= tfracpi2 (desce da “cintura” até o polo sul) e 0 <= theta < 2pi.

Resposta

O gráfico de
z = -raiz1 - x^2 - y^2
é a metade inferior da esfera de raio 1 centrada na origem, ou seja, o hemisfério com x^2+y^2+z^2=1 e z<=0.

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