Represente o número 255_{10} nas bases 2,8 e 16 .

Passo 1

O enunciado pede para representar o número 255_{10} (ou seja, o número 255 escrito na base decimal, que é a base 10) em três outras bases: base 2, base 8 e base 16.
Informações fornecidas: o número inicial é \,255_{10}.
Perguntas a responder: calcular as representações de \,255_{10} em base 2, em base 8 e em base 16.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Uma representação de um número em base b usa dígitos multiplicados por potências de b. Por exemplo, se um número tem dígitos d_n d_{n-1}\dots d_1 d_0 na base b, isso significa
d_n b^n + d_{n-1} b^{n-1} + \dots + d_1 b + d_0.
Cada d_i é um inteiro entre 0 e b-1.
  • Método prático (o mais usado em prova): divisões sucessivas por b. A cada divisão você anota o resto; os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos na base b. Vou mostrar isso passo a passo para cada base.
Explicação curta do porquê: dividir por b dá o último dígito (resto entre 0 e b-1); ao dividir o quociente novamente por b obtemos o dígito seguinte, e assim por diante até o quociente ser zero.

Passo 3

Conversão para base 2 (binária) usando divisões por 2. Vou fazer todas as divisões e indicar quociente e resto:
\begin{array}{l} 255 \div 2 = 127\quad\text{resto }1,\\[4pt] 127 \div 2 = 63\quad\text{resto }1,\\[4pt] 63 \div 2 = 31\quad\text{resto }1,\\[4pt] 31 \div 2 = 15\quad\text{resto }1,\\[4pt] 15 \div 2 = 7\quad\text{resto }1,\\[4pt] 7 \div 2 = 3\quad\text{resto }1,\\[4pt] 3 \div 2 = 1\quad\text{resto }1,\\[4pt] 1 \div 2 = 0\quad\text{resto }1. \end{array}
Agora lemos os restos de baixo para cima (do último para o primeiro): 1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1. Logo a representação em base 2 é
255_{10} = 11111111_2.
Curiosidade rápida (ajuda de check): 11111111_2 = 2^7+2^6+\dots+2^0 = 2^8-1 = 255. Isso confirma que está certo.]

Passo 4

Conversão para base 8 (octal) usando divisões por 8:
\begin{array}{l} 255 \div 8 = 31\quad\text{resto }7,\\[4pt] 31 \div 8 = 3\quad\text{resto }7,\\[4pt] 3 \div 8 = 0\quad\text{resto }3. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 3\,7\,7. Portanto
255_{10} = 377_8.
Verificação rápida com valores de posição: 3\cdot 8^2 + 7\cdot 8 + 7 = 3\cdot 64 + 56 + 7 = 192 + 56 + 7 = 255. Confere.]

Passo 5

Conversão para base 16 (hexadecimal) usando divisões por 16:
\begin{array}{l} 255 \div 16 = 15\quad\text{resto }15,\\[4pt] 15 \div 16 = 0\quad\text{resto }15. \end{array}
Os restos de baixo para cima são 15,15. Na base 16 o dígito 15 é representado pela letra F. Então a representação é
255_{10} = FF_{16}.
Verificação: F F_{16} = 15\cdot 16 + 15 = 240 + 15 = 255. Também podemos notar que 16^2 - 1 = 256 - 1 = 255, por isso dois dígitos F (cada um valendo 16-1) dão esse valor.]

Resposta

255_{10} = 11111111_2
255_{10} = 377_8
255_{10} = FF_{16}

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