Represente o número decimal ( 0.2 ) na base binária com 12 dígitos.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Representar o número decimal 0,2 na base binária com exatamente 12 dígitos após a vírgula.
Informações dadas:
O número decimal é 0,2.
Alternativamente, 0,2 = \dfrac{1}{5}.
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática do método):
Para converter a parte fracionária de um número decimal para binário usa-se o método das multiplicações sucessivas por 2.
A ideia: seja a fração f com 0\le f<1. Multiplica-se f por 2. O inteiro da multiplicação (ou seja 0 ou 1) é o primeiro dígito binário após a vírgula. A parte fracionária resultante é então multiplicada por 2 de novo para obter o próximo dígito, e assim por diante.
Por que isso funciona (intuição): cada multiplicação por 2 desloca a expansão binária uma casa à esquerda; o dígito inteiro indica se existe um termo 2^{-1}, 2^{-2}, etc.
Vou mostrar cada multiplicação detalhadamente e anotar os dígitos obtidos, até termos 12 dígitos.
Passo 3
Aplicando o método passo a passo a 0,2 (vou mostrar as primeiras multiplicações até aparecer repetição):
Começo com f_0 = 0,2.
f_0 \cdot 2 = 0,2 \cdot 2 = 0,4. Parte inteira =0, parte fracionária =0,4. Primeiro dígito: 0.
0,4 \cdot 2 = 0,8. Parte inteira =0, parte fracionária =0,8. Segundo dígito: 0.
0,8 \cdot 2 = 1,6. Parte inteira =1, parte fracionária =0,6. Terceiro dígito: 1.
0,6 \cdot 2 = 1,2. Parte inteira =1, parte fracionária =0,2. Quarto dígito: 1.
Observação importante: após a quarta multiplicação a parte fracionária voltou a 0,2, que é exatamente f_0. Isso significa que a sequência de dígitos vai repetir a partir daqui.
Passo 4
Detectando o período e construindo os 12 dígitos:
Dos passos acima vimos que os quatro primeiros dígitos são, nesta ordem: 0,0,1,1. Como a parte fracionária retornou a 0,2, essa sequência de quatro dígitos se repete indefinidamente.
Portanto a expansão binária é periódica: 0,\overline{0011}_2 (onde o bloco 0011 se repete).
Para ter 12 dígitos após a vírgula, repetimos o bloco 0011 três vezes (pois 4 bits por bloco \times 3 = 12). Assim os 12 dígitos são:
0\;0\;1\;1\;0\;0\;1\;1\;0\;0\;1\;1
Escrevendo como número binário com 12 dígitos fracionários:
0,001100110011_2
Passo 5
Verificação rápida (mostrando que a expansão periódica é de fato \tfrac{1}{5}):
Seja x = 0,\overline{0011}_2. Multiplicando por 2^4=16 desloca o período:
16x = 3,\overline{0011}_2 = 3 + x
Subtraindo x dos dois lados:
15x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}.
Como \dfrac{1}{5}=0,2, a expansão periódica está correta.