Representar na base binária os seguintes números decimais:
b) 29.75
b) 29.75
Passo 1
O enunciado pede: representar na base binária o número decimal
.
Informações dadas:
- Número decimal a converter:
.
O que precisa ser entregue:
- A representação em base binária (isto é, escrever o número na forma
).
Passo 2
Explicação do método para a parte inteira (a turma que vai para prova vai adorar isto): para converter a parte inteira de um número decimal para binário usa-se o método das divisões sucessivas por
. A ideia é:
- Dividir o número por
. - Anotar o resto (que só pode ser
ou ). - Repetir com o quociente até o quociente ser
. - Os restos, lidos de baixo para cima (do último para o primeiro), formam os dígitos binários da parte inteira, do bit menos significativo para o mais significativo.
Por que isso funciona (explicação rápida): cada divisão por
testa se o número é par (resto
) ou ímpar (resto
). Esses restos correspondem aos coeficientes das potências de
em
.
Passo 3
Converter a parte inteira
usando divisões por
. Vou mostrar cada divisão e o resto (todos os números em TeX):
Agora os restos, do último para o primeiro, são:
. Portanto a parte inteira em binário é
Passo 4
Explicação do método para a parte fracionária: para converter uma parte fracionária decimal
para binário usa-se multiplicações sucessivas por
. A ideia é:
- Multiplicar a fração por
. - O inteiro resultante (ou seja, a parte antes da vírgula) é o próximo bit binário após a vírgula (pode ser
ou ). - Guardar a nova fração (a parte decimal do produto) e repetir até que a fração vire
(conversão termina) ou até obter os bits desejados.
Isso funciona porque multiplicar pordesloca os bits fracionários para a esquerda, revelando se há uma unidade de .
Observação prática: se a fração puder ser escrita como
(ou seja, denominador potência de
), a expansão binária termina em no máximo
dígitos; caso contrário ela pode ser periódica.
Passo 5
Converter a parte fracionária
(ou seja
) por multiplicações por
:
A fração tornou-se
, então a expansão termina. Os bits obtidos, na ordem em que aparecem, são
e depois
. Logo
Nota rápida: isso também era previsível porque
, que em binário é exatamente
.
Passo 6
Agora juntamos as duas partes (inteira e fracionária). Da Passo 3 temos
. Da Passo 5 temos
. Portanto
Passo 7
Verificação final (conversão de volta para decimal) para não ficar com dúvida:
- Parte inteira:
- Parte fracionária:
Somando dá
, que confirma a conversão.