Representar na base binária os seguintes números decimais:
b) 29.75

Passo 1

O enunciado pede: representar na base binária o número decimal 29,75.
Informações dadas:
  • Número decimal a converter: 29,75_{10}.
O que precisa ser entregue:
  • A representação em base binária (isto é, escrever o número na forma \ldots_2).

Passo 2

Explicação do método para a parte inteira (a turma que vai para prova vai adorar isto): para converter a parte inteira de um número decimal para binário usa-se o método das divisões sucessivas por 2. A ideia é:
  • Dividir o número por 2.
  • Anotar o resto (que só pode ser 0 ou 1).
  • Repetir com o quociente até o quociente ser 0.
  • Os restos, lidos de baixo para cima (do último para o primeiro), formam os dígitos binários da parte inteira, do bit menos significativo para o mais significativo.
Por que isso funciona (explicação rápida): cada divisão por 2 testa se o número é par (resto 0) ou ímpar (resto 1). Esses restos correspondem aos coeficientes das potências de 2 em \sum b_i 2^i.

Passo 3

Converter a parte inteira 29 usando divisões por 2. Vou mostrar cada divisão e o resto (todos os números em TeX):
29 \div 2 = 14 \quad\text{resto }1
14 \div 2 = 7 \quad\text{resto }0
7 \div 2 = 3 \quad\text{resto }1
3 \div 2 = 1 \quad\text{resto }1
1 \div 2 = 0 \quad\text{resto }1
Agora os restos, do último para o primeiro, são: 1,1,1,0,1. Portanto a parte inteira em binário é
29_{10} = 11101_2.

Passo 4

Explicação do método para a parte fracionária: para converter uma parte fracionária decimal 0,a para binário usa-se multiplicações sucessivas por 2. A ideia é:
  • Multiplicar a fração por 2.
  • O inteiro resultante (ou seja, a parte antes da vírgula) é o próximo bit binário após a vírgula (pode ser 0 ou 1).
  • Guardar a nova fração (a parte decimal do produto) e repetir até que a fração vire 0 (conversão termina) ou até obter os bits desejados.
    Isso funciona porque multiplicar por 2 desloca os bits fracionários para a esquerda, revelando se há uma unidade de 2^{-1},2^{-2},\dots.
Observação prática: se a fração puder ser escrita como \dfrac{m}{2^k} (ou seja, denominador potência de 2), a expansão binária termina em no máximo k dígitos; caso contrário ela pode ser periódica.

Passo 5

Converter a parte fracionária 0,75 (ou seja \tfrac{75}{100}=\tfrac{3}{4}) por multiplicações por 2:
0,75 \times 2 = 1,50 \quad\Rightarrow\quad \text{bit} = 1,\\ \text{nova fração }0,50çã
0,50 \times 2 = 1,00 \quad\Rightarrow\quad \text{bit} = 1,\\ \text{nova fração }0,00çã
A fração tornou-se 0, então a expansão termina. Os bits obtidos, na ordem em que aparecem, são 1 e depois 1. Logo
0,75_{10} = 0,11_2.
Nota rápida: isso também era previsível porque 0,75=\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=2^{-1}+2^{-2}, que em binário é exatamente 0,11_2.

Passo 6

Agora juntamos as duas partes (inteira e fracionária). Da Passo 3 temos 29_{10}=11101_2. Da Passo 5 temos 0,75_{10}=0,11_2. Portanto
29,75_{10} = 11101,11_2.

Passo 7

Verificação final (conversão de volta para decimal) para não ficar com dúvida:
  • Parte inteira:
11101_2 = 1\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} =16+8+4+0+1=29.
  • Parte fracionária:
0,11_2 = 1\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4} = 0,75.
Somando dá 29+0,75=29,75, que confirma a conversão.

Resposta

29,75_{10} = 11101,11_2

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