Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|z-i|=2

Passo 1

O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que |z-i|=2.\n
Informações dadas:
  • A incógnita é o número complexo z.
  • A unidade imaginária é \,i.
  • A condição é |z-i|=2, ou seja, a distância entre z e o ponto i deve ser igual a 2.\n
    Objetivo nesta resolução: transformar a condição em uma equação cartesiana no plano (x,y), identificar centro e raio e dar uma forma paramétrica para desenhar o conjunto.

Passo 2

Vamos escrever z na forma cartesiana e entender o significado de módulo como distância.\n
Escrevo z como
z = x + iy,
onde x é a parte real e y é a parte imaginária de z.\n
O ponto i corresponde ao par (0,1) (ou seja, 0+1\cdot i).\n
A fórmula da distância no plano entre (x,y) e (a,b) é
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.
Aplicando isso para |z-i| (distância entre (x,y) e (0,1)) temos
|z-i|=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}.

Passo 3

A condição dada é |z-i|=2. Substituindo a expressão da raiz,
\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2.
Para eliminar a raiz, elevamos os dois lados ao quadrado (passo seguro porque ambos os lados são não-negativos):
x^2+(y-1)^2=2^2.
Logo,
x^2+(y-1)^2=4.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação obtida:\n
A equação
x^2+(y-1)^2=4
é a equação de uma circunferência no plano cartesiano com centro em (0,1) e raio 2.\n
Explicando: a forma padrão da circunferência é (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, onde (a,b) é o centro e r o raio. Aqui a=0, b=1 e r^2=4, portanto r=2.

Passo 5

Para desenhar ou representar no plano de Argand-Gauss: coloque o centro em 0+i (ou seja, no ponto (0,1)), trace uma circunferência de raio 2. Lembre que a condição com sinal de igualdade significa apenas a fronteira (a circunferência), não o disco preenchido.\n
Alguns pontos úteis da circunferência (bons para marcar no rascunho):
  • Interseção com o eixo real ( y=0): substituindo em x^2+(0-1)^2=4 x^2+1=4, então x=\pm\sqrt{3}. Assim os pontos \pm\sqrt{3} (ou seja, \pm\sqrt{3}+0i) estão na circunferência.
  • Interseção com o eixo imaginário ( x=0): (0)^2+(y-1)^2=4 y-1=\pm 2, então y=3 ou y=-1. Assim os pontos 3i e -i estão na circunferência.\n
    Também podemos escrever uma forma paramétrica útil para traçar a circunferência:
z(\theta)=2e^{i\theta}+i,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Isto significa: pegue o círculo de raio 2 centrado em 0 e translate para cima em i.

Resposta

x^2+(y-1)^2=4
Centro: (0,1), raio: 2.\n
Forma paramétrica: z(\theta)=2e^{i\theta}+i,\\ \theta\in[0,2\pi).

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