Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos
tais que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A incógnita é o número complexo
. - A unidade imaginária é
. - A condição é
, ou seja, a distância entre e o ponto deve ser igual a .\n
Objetivo nesta resolução: transformar a condição em uma equação cartesiana no plano, identificar centro e raio e dar uma forma paramétrica para desenhar o conjunto.
Passo 2
Vamos escrever
na forma cartesiana e entender o significado de módulo como distância.\n
Escrevo como
Escrevo
onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
.\n
O ponto corresponde ao par
(ou seja,
).\n
A fórmula da distância no plano entre e
é
O ponto
A fórmula da distância no plano entre
Aplicando isso para
(distância entre
e
) temos
Passo 3
A condição dada é
. Substituindo a expressão da raiz,
Para eliminar a raiz, elevamos os dois lados ao quadrado (passo seguro porque ambos os lados são não-negativos):
Logo,
Passo 4
Interpretação geométrica da equação obtida:\n
A equação
A equação
é a equação de uma circunferência no plano cartesiano com centro em
e raio
.\n
Explicando: a forma padrão da circunferência é , onde
é o centro e
o raio. Aqui
,
e
, portanto
.
Explicando: a forma padrão da circunferência é
Passo 5
Para desenhar ou representar no plano de Argand-Gauss: coloque o centro em
(ou seja, no ponto
), trace uma circunferência de raio
. Lembre que a condição com sinal de igualdade significa apenas a fronteira (a circunferência), não o disco preenchido.\n
Alguns pontos úteis da circunferência (bons para marcar no rascunho):
Alguns pontos úteis da circunferência (bons para marcar no rascunho):
- Interseção com o eixo real (
): substituindo em dá , então . Assim os pontos (ou seja, ) estão na circunferência. - Interseção com o eixo imaginário (
): dá , então ou . Assim os pontos e estão na circunferência.\n
Também podemos escrever uma forma paramétrica útil para traçar a circunferência:
Isto significa: pegue o círculo de raio
centrado em
e translate para cima em
.
Resposta
Centro:
, raio:
.\n
Forma paramétrica: .
Forma paramétrica: