Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede: representar no plano de Argand–Gauss o conjunto dos pontos
tais que
.
Informações dadas: temos uma variável complexa (um ponto no plano complexo) e a condição
. Não há outras restrições.
Informações dadas: temos uma variável complexa
Passo 2
Entendendo as notações (aula rapidinha, sem pânico). Qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde
é a parte real e
é a parte imaginária (ambos números reais). A expressão
significa o módulo de
, que é a distância do ponto
até a origem no plano. A fórmula do módulo é
Aqui
é a soma dos quadrados das coordenadas, e a raiz quadrada transforma isso na distância euclidiana. Essa é a ferramenta principal: transformar uma condição sobre
numa condição sobre
e
.
Passo 3
Aplicando a definição à desigualdade dada. Temos
, então usando a fórmula do módulo:
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. Isso é válido porque ambos os lados são não negativos (o módulo é
e
). Ao elevar ao quadrado obtemos:
Expliquei: elevar ao quadrado não inverte desigualdade quando ambos os lados são não negativos.
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade encontrada. A equação
é a circunferência de centro
e raio
. A desigualdade
descreve todos os pontos estritamente dentro dessa circunferência — ou seja, o interior do círculo de raio
centrado na origem. Como o sinal é estrito
, a fronteira (a própria circunferência) não está incluída.
Passo 5
Como desenhar isso no plano de Argand–Gauss (passo a passo prático, do jeitinho que você fará na prova):
- Desenha os eixos: eixo horizontal é a parte real (
), eixo vertical é a parte imaginária ( ). - Marca a origem
. - Com centro na origem, desenha um círculo de raio
. Para indicar que a fronteira não pertence ao conjunto, faça a circunferência tracejada (ou contínua e explique que os pontos sobre ela não estão incluídos). - Sombreie (pinte) toda a região interna ao círculo — esse é o conjunto pedido.
Exemplos de verificação: o ponto(origem) satisfaz , logo está dentro. O ponto sobre o eixo real tem , não satisfaz , então não pertence (fronteira excluída). O ponto tem , então pertence.
Passo 6
Representação em notação de conjuntos (útil se pedirem por escrito na prova): o conjunto pedido é
que, em coordenadas reais, é
Se tiver que descrever oralmente ou em poucas palavras: “o interior do círculo de raio
centrado na origem do plano complexo (circunferência não incluída)”.