Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|\mathrm{z}|<4

Passo 1

O enunciado pede: representar no plano de Argand–Gauss o conjunto dos pontos z tais que |z|<4.
Informações dadas: temos uma variável complexa z (um ponto no plano complexo) e a condição |z|<4. Não há outras restrições.

Passo 2

Entendendo as notações (aula rapidinha, sem pânico). Qualquer número complexo z pode ser escrito como
z = x + iy,
onde x é a parte real e y é a parte imaginária (ambos números reais). A expressão |z| significa o módulo de z, que é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano. A fórmula do módulo é
|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
Aqui x^{2}+y^{2} é a soma dos quadrados das coordenadas, e a raiz quadrada transforma isso na distância euclidiana. Essa é a ferramenta principal: transformar uma condição sobre |z| numa condição sobre x e y.

Passo 3

Aplicando a definição à desigualdade dada. Temos |z|<4, então usando a fórmula do módulo:
\sqrt{x^{2}+y^{2}} < 4.
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. Isso é válido porque ambos os lados são não negativos (o módulo é \ge 0 e 4>0). Ao elevar ao quadrado obtemos:
x^{2}+y^{2} < 16.
Expliquei: elevar ao quadrado não inverte desigualdade quando ambos os lados são não negativos.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade encontrada. A equação
x^{2}+y^{2} = 16
é a circunferência de centro (0,0) e raio 4. A desigualdade
x^{2}+y^{2} < 16
descreve todos os pontos estritamente dentro dessa circunferência — ou seja, o interior do círculo de raio 4 centrado na origem. Como o sinal é estrito <, a fronteira (a própria circunferência) não está incluída.

Passo 5

Como desenhar isso no plano de Argand–Gauss (passo a passo prático, do jeitinho que você fará na prova):
  1. Desenha os eixos: eixo horizontal é a parte real ( \Re), eixo vertical é a parte imaginária ( \Im).
  2. Marca a origem (0,0).
  3. Com centro na origem, desenha um círculo de raio 4. Para indicar que a fronteira não pertence ao conjunto, faça a circunferência tracejada (ou contínua e explique que os pontos sobre ela não estão incluídos).
  4. Sombreie (pinte) toda a região interna ao círculo — esse é o conjunto pedido.
    Exemplos de verificação: o ponto 0 (origem) satisfaz |0|=0<4, logo está dentro. O ponto 4 sobre o eixo real tem |4|=4, não satisfaz |z|<4, então não pertence (fronteira excluída). O ponto 3+2i tem |3+2i|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}<4, então pertence.

Passo 6

Representação em notação de conjuntos (útil se pedirem por escrito na prova): o conjunto pedido é
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|<4\,\}
que, em coordenadas reais, é
\{\,x+iy\mid x^{2}+y^{2}<16\,\}.
Se tiver que descrever oralmente ou em poucas palavras: “o interior do círculo de raio 4 centrado na origem do plano complexo (circunferência não incluída)”.

Resposta

\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|<4\,\} = \{\,x+iy\mid x^{2}+y^{2}<16\,\}

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