Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|z-4 i| \leq 1

Passo 1

O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que |z-4i| \leq 1.\n
Informações dadas: a desigualdade |z-4i| \leq 1 é a única condição sobre z.\n
O que precisamos entregar: uma descrição geométrica e a forma apropriada para desenhar/identificar esse conjunto no plano complexo.

Passo 2

Vamos entender o que significa |z-4i|.\n
Se escrevemos z na forma cartesiana \;z = x + i y\; com \;x=\Re(z)\; e \;y=\Im(z)\;, então |z-4i| é a distância entre o ponto (x,y) e o ponto correspondente ao número complexo 4i, que é (0,4).\n
Regra geral: para dois complexos \;z_1 = x_1 + i y_1\; e \;z_2 = x_2 + i y_2\;, temos
|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
Aqui isso significa distância euclidiana no plano.

Passo 3

Substituindo z = x+iy e 4i = 0 + i\cdot 4, temos
z-4i = x + i(y-4).
O módulo é
|z-4i| = \sqrt{x^2+(y-4)^2}.
A desigualdade |z-4i| \leq 1 vira
\sqrt{x^2+(y-4)^2} \leq 1.
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso preserva a desigualdade porque ambos são não-negativos), obtemos
x^2+(y-4)^2 \leq 1.

Passo 4

A desigualdade \;x^2+(y-4)^2 \leq 1\; é a equação de um disco fechado no plano cartesiano: é o conjunto de pontos cuja distância ao centro (0,4) é menor ou igual a 1.\n
Portanto, geometricamente no plano de Argand-Gauss (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) é um círculo de centro \;(0,4)\; e raio \;1\; junto com seu interior.

Passo 5

Como pontos importantes para desenhar: os pontos da fronteira (onde =) incluem
(0,5),\quad (0,3),\quad (1,4),\quad (-1,4),
ou seja, os pontos \;4i + e^{i\theta}\; para \theta\in[0,2\pi).\n
Para desenhar: marque o centro em \;(0,4)\;, trace um círculo de raio 1 e sombreie o interior (incluso), pois a desigualdade é \leq.

Passo 6

Resumo em linguagem de conjuntos e parametrização alternativa: o conjunto é
\{z\in\mathbb{C}:x^2+(y-4)^2\leq 1\}
ou, escrevendo em termos de z,
\{z\in\mathbb{C}:\\ |z-4i|\leq 1\}=\{4i+re^{i\theta}:0\leq r\leq1,\;0\leq\theta<2\pi\}.

Resposta

\{z\in\mathbb{C}:\\ |z-4i|\leq 1\} = \{x+iy\in\mathbb{C}:\\ x^2+(y-4)^2\leq 1\}\n
Disco fechado de centro (0,4) e raio 1.

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