Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos
tais que
.\n
Informações dadas: a desigualdade é a única condição sobre
.\n
O que precisamos entregar: uma descrição geométrica e a forma apropriada para desenhar/identificar esse conjunto no plano complexo.
Informações dadas: a desigualdade
O que precisamos entregar: uma descrição geométrica e a forma apropriada para desenhar/identificar esse conjunto no plano complexo.
Passo 2
Vamos entender o que significa
.\n
Se escrevemos na forma cartesiana
com
e
, então
é a distância entre o ponto
e o ponto correspondente ao número complexo
, que é
.\n
Regra geral: para dois complexos e
, temos
Se escrevemos
Regra geral: para dois complexos
Aqui isso significa distância euclidiana no plano.
Passo 3
Substituindo
e
, temos
O módulo é
A desigualdade
vira
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso preserva a desigualdade porque ambos são não-negativos), obtemos
Passo 4
A desigualdade
é a equação de um disco fechado no plano cartesiano: é o conjunto de pontos cuja distância ao centro
é menor ou igual a
.\n
Portanto, geometricamente no plano de Argand-Gauss (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) é um círculo de centro e raio
junto com seu interior.
Portanto, geometricamente no plano de Argand-Gauss (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) é um círculo de centro
Passo 5
Como pontos importantes para desenhar: os pontos da fronteira (onde
) incluem
ou seja, os pontos
para
.\n
Para desenhar: marque o centro em , trace um círculo de raio
e sombreie o interior (incluso), pois a desigualdade é
.
Para desenhar: marque o centro em
Passo 6
Resumo em linguagem de conjuntos e parametrização alternativa: o conjunto é
ou, escrevendo em termos de
,
Resposta
Disco fechado de centro