Represente no plano cartesiano as hipérboles:
4 x^2-3 y^2-36=0;

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente a hipérbole dada por
4x^2-3y^2-36=0,
portanto vamos colocar essa equação em sua forma canônica de hipérbole, identificar centro, vértices e assíntotas, e com isso esboçar o gráfico no plano cartesiano.

Passo 2

Isolamos os termos quadráticos e dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma padrão:
4x^2-3y^2=36 Longrightarrow 4x^236-3y^236=1 Longrightarrow x^29-y^212=1

Passo 3

Da forma
x^2a^2-y^2b^2=1
vemos que
a^2=9Rightarrow a=3, b^2=12Rightarrow b=raiz12=2raiz3
O centro da hipérbole é (0,0) e o eixo transverso é horizontal, portanto os vértices são
(pm a,,0)=(pm3,,0)

Passo 4

As assíntotas da hipérbole horizontal centrada na origem vêm de
y=pmba,x
logo
y=pm2raiz33,x

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Marque os vértices em (3,0) e (-3,0).
  3. Desenhe as retas assíntotas y=tfrac2raiz33x e y=-tfrac2raiz33x.
  4. Esboce os ramos da hipérbole que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas conforme xtopminfty.

Resposta

A hipérbole no plano cartesiano tem:
centro em (0,0),
vértices em (pm3,0),
e assíntotas
y=pm2raiz33,x
Seus ramos abrem para a direita e esquerda, aproximando-se dessas retas.

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