Represente em uma reta a solução da inequação:
e) |2 y-2|<|y|

Passo 1

Queremos achar os valores de y que satisfazem
\lvert 2y-2\rvert < \lvert y\rvert.
O conteúdo aqui são inequações com valor absoluto, que resolvemos dividindo em casos segundo os zeros das expressões dentro dos módulos.

Passo 2

As expressões mudam de sinal em y=1 (pois 2y-2=0) e em y=0 (pois y=0). Então vamos analisar os três intervalos:
(-\infty,0),\quad [0,1),\quad [1,\infty).

Passo 3

No intervalo y<0: \lvert y\rvert=-y e 2y-2<0, logo \lvert 2y-2\rvert=2-2y. A inequação fica
2-2y < -y
2 < 2y - y \quad\Longrightarrow\quad 2 < y,
que não possui solução em y<0. Portanto, nada aqui.

Passo 4

Em 0 \le y <1: \lvert y\rvert = y e 2y-2<0, logo \lvert 2y-2\rvert=2-2y. A inequação
2-2y < y
2 < 3y \quad\Longrightarrow\quad y > \tfrac23.
Combinando com 0\le y<1, obtemos
\tfrac23 < y < 1.

Passo 5

Para y \ge 1: \lvert y\rvert = y e 2y-2\ge0, logo \lvert 2y-2\rvert=2y-2. A inequação
2y-2 < y
y < 2.
Com y\ge1, resulta
1 \le y < 2.

Passo 6

Unindo os dois trechos não vazios, temos
\tfrac23 < y < 1 \quad\text{ou}\quad 1 \le y < 2,
o que equivale ao intervalo contínuo
\tfrac23 < y < 2.

Resposta

A solução é o intervalo (\tfrac23,2).
Na reta real, marca-se um círculo aberto em \tfrac23 e outro em 2, e sombreia-se todo o trecho entre eles.

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