Represente um quadrado A B C D e construa os pontos E, F, G e H tais que:
l A E=A C+B C, C F=2 C B+12 B D A G=12 A D-D C, D H=-2 D A-12 A B
Mostre que o quadrilátero EFGH é um paralelogramo.
Abrir o M365 Copilot

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um quadrado ABCD e precisa construir os pontos E, F, G e H usando umas regras de vetores que foram dadas. O objetivo é mostrar que o quadrilátero formado por esses pontos, ou seja, EFGH, é um paralelogramo. Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, para facilitar, vamos colocar o quadrado ABCD em um sistema de coordenadas. Vamos assumir que o lado do quadrado tem comprimento 1 e que o ponto A está na origem (0,0). Assim, as coordenadas dos pontos ficam assim:
  • A = (0, 0)
  • B = (1, 0)
  • C = (1, 1)
  • D = (0, 1)

Passo 3

Agora, vamos entender as expressões vetoriais que definem os pontos E, F, G e H.
  1. Para o ponto E:
A E = A C + B C
Isso significa que o vetor que vai de A até E é a soma dos vetores de A a C e de B a C.
  1. Para o ponto F:
C F = 2 C B + 12 B D
Isso quer dizer que o vetor de C a F é duas vezes o vetor de C a B mais meio do vetor de B a D.
  1. Para o ponto G:
A G = 12 A D - D C
Aqui, o vetor de A a G é a metade do vetor de A a D menos o vetor de D a C.
  1. Para o ponto H:
D H = -2 D A - 12 A B
Este vetor de D a H é menos o dobro do vetor de D a A menos metade do vetor de A a B.

Passo 4

Vamos calcular as coordenadas de cada ponto começando por E.
Para encontrar A C e B C:
  • A C = C - A = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1)
  • B C = C - B = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1)
Então:
A E = A C + B C = (1, 1) + (0, 1) = (1, 2)
Isso significa que as coordenadas de E são:
E = A + A E = (0, 0) + (1, 2) = (1, 2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas de F.
Primeiro, calculamos 2 C B e 12 B D:
  • C B = B - C = (1, 0) - (1, 1) = (0, -1)
  • 2 C B = 2 times (0, -1) = (0, -2)
  • B D = D - B = (0, 1) - (1, 0) = (-1, 1)
  • 12 B D = 12 times (-1, 1) = (-0.5, 0.5)
Somando:
C F = 2 C B + 12 B D = (0, -2) + (-0.5, 0.5) = (-0.5, -1.5)
Então, as coordenadas de F são:
F = C + C F = (1, 1) + (-0.5, -1.5) = (0.5, -0.5)

Passo 6

Vamos calcular as coordenadas de G.
Primeiro, calculamos 12 A D e -D C:
  • A D = D - A = (0, 1) - (0, 0) = (0, 1)
  • 12 A D = 12 times (0, 1) = (0, 0.5)
  • D C = C - D = (1, 1) - (0, 1) = (1, 0)
  • -D C = (-1, 0)
Somando:
A G = 12 A D - D C = (0, 0.5) + (-1, 0) = (-1, 0.5)
Assim, as coordenadas de G são:
G = A + A G = (0, 0) + (-1, 0.5) = (-1, 0.5)

Passo 7

Agora, vamos encontrar as coordenadas de H.
Primeiro, calculamos -2 D A e -12 A B:
  • D A = A - D = (0, 0) - (0, 1) = (0, -1)
  • -2 D A = -2 times (0, -1) = (0, 2)
  • A B = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0)
  • -12 A B = -12 times (1, 0) = (-0.5, 0)
Somando:
D H = -2 D A - 12 A B = (0, 2) + (-0.5, 0) = (-0.5, 2)
Então, as coordenadas de H são:
H = D + D H = (0, 1) + (-0.5, 2) = (-0.5, 3)

Passo 8

Agora que temos as coordenadas de todos os pontos, vamos verificar se EFGH é um paralelogramo.
Para isso, precisamos mostrar que os lados opostos são iguais. Ou seja:
  • E F = G H
  • F G = H E
Vamos calcular cada um:
  1. Vetor E F:
E F = F - E = (0.5, -0.5) - (1, 2) = (-0.5, -2.5)
  1. Vetor G H:
G H = H - G = (-0.5, 3) - (-1, 0.5) = (0.5, 2.5)
Observamos que G H = -E F, ou seja, são vetores opostos, indicando que os lados são paralelos e iguais em módulo.
  1. Vetor F G:
F G = G - F = (-1, 0.5) - (0.5, -0.5) = (-1.5, 1)
  1. Vetor H E:
H E = E - H = (1, 2) - (-0.5, 3) = (1.5, -1)
Novamente, H E = -F G, confirmando que esses lados também são paralelos e iguais em módulo.

Resposta

Portanto, como os lados opostos de EFGH são paralelos e iguais, concluímos que o quadrilátero EFGH é um paralelogramo.

Exercícios relacionados