Seja T: R^3 R^2, com T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z). Considere as bases
A=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) e B=(2,1),(5,3),
do R^3 e do R^2, respectivamente.
Determine [T]B^A.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (2x - y + z,;3x + y - 2z)
e pede a matriz de T relativa à base
A = (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)de R^3
e à base
B = (2,1),(5,3)de R^2
Para isso, vamos calcular T(vj) para cada vjin A e expressar cada imagem como combinação linear dos vetores de B.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de A em coordenadas padrão:
T(1,1,1)=(2,2), T(0,1,1)=(0,-1) e T(0,0,1)=(1,-2).

Passo 3

Expressar cada [T(v_j)) como combinação .
Para resolvemos
obtendo .
Para resolvemos
obtendo .
Para resolvemos
obtendo .
Assim, as coordenadas de na base são , e .

Passo 4

Montar a matriz [T]B^A usando como colunas esses vetores coordenados, na mesma ordem de A:
[T]B^A = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5

Resposta

[T]B^A = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5

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