Seja C=A B C D E F G H um cubo. Defina a:=A B, b:=A D e c:=A E. Denotamos por M o ponto médio de F G, N o de H G e por P o centro da faceta A B C D.
Escreva os seguintes vetores como combinações lineares dos vetores a, b e c :
E P, E M, E N, N M, P N, N P, P M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar certos vetores dentro de um cubo como combinações lineares dos vetores a, b e c. Basicamente, estamos trabalhando com geometria espacial e vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender as posições dos pontos no cubo em relação aos vetores dados e depois calcular os vetores solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições dos vértices do cubo usando os vetores a, b e c. Vamos considerar o ponto A como origem.
  • A = 0
  • B = A + a = a
  • D = A + b = b
  • E = A + c = c
  • C = B + b = a + b
  • F = E + a = c + a
  • H = E + b = c + b
  • G = C + c = a + b + c

Passo 3

Agora, vamos localizar os pontos M, N e P:
  • M é o ponto médio de F G. Então:
M = F + G2 = (c + a) + (a + b + c)2 = 2a + b + 2c2 = a + b2 + c
  • N é o ponto médio de H G. Então:
N = H + G2 = (c + b) + (a + b + c)2 = a + 2b + 2c2 = a2 + b + c
  • P é o centro da face A B C D. Esse centro é a média dos quatro vértices:
P = A + B + C + D4 = 0 + a + (a + b) + b4 = 2a + 2b4 = a2 + b2

Passo 4

Agora que temos as coordenadas de todos os pontos, vamos calcular os vetores solicitados como combinações lineares de a, b e c.
  1. E P:
E P = P - E = ( a2 + b2 ) - c = a2 + b2 - c
  1. E M:
E M = M - E = ( a + b2 + c ) - c = a + b2
  1. E N:
E N = N - E = ( a2 + b + c ) - c = a2 + b
  1. N M:
N M = M - N = ( a + b2 + c ) - ( a2 + b + c ) = a2 - b2
  1. P N:
P N = N - P = ( a2 + b + c ) - ( a2 + b2 ) = b2 + c
  1. N P:
N P = P - N = ( a2 + b2 ) - ( a2 + b + c ) = -b2 - c
  1. P M:
P M = M - P = ( a + b2 + c ) - ( a2 + b2 ) = a2 + c

Resposta

As combinações lineares dos vetores a, b e c são:
E P &= 12a + 12b - c E M &= a + 12b E N &= 12a + b N M &= 12a - 12b P N &= 12b + c N P &= -12b - c P M &= 12a + c

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