Represente em uma reta a solução da inequação:
a) |2 x-2|<2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\lvert 2x - 2\rvert < 2x + 1
e depois representar a solução na reta real. O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto. Para resolver, primeiro impomos o domínio em que o lado direito seja positivo e depois separamos os casos conforme o sinal de 2x - 2.

Passo 2

Como \lvert 2x - 2\rvert\ge0, precisamos ter
2x + 1 > 0
para que exista solução. Logo,
2x + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -\tfrac12.

Passo 3

Agora dividimos em dois casos quanto ao sinal de 2x - 2.
Caso 1: 2x - 2 \ge 0 (ou seja x \ge 1).
Nesse caso \lvert 2x - 2\rvert = 2x - 2. A inequação fica
2x - 2 < 2x + 1.
Subtraindo 2x de ambos os lados,
-2 < 1,
que é sempre verdadeiro. Portanto todo x\ge1 (e também >-\tfrac12) satisfaz a inequação.

Passo 4

Caso 2: 2x - 2 < 0 (ou seja x < 1), combinado com x>-\tfrac12 -\tfrac12 < x < 1.
Nesse trecho \lvert 2x - 2\rvert = -(2x - 2) = 2 - 2x, então
2 - 2x < 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2 - 2x - 2x - 1 < 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 4x < 0 \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac14.
Assim, neste caso a solução é \tfrac14 < x < 1.

Passo 5

Unindo os dois casos temos
\{x\mid x\ge1\}\cup\{\tfrac14 < x <1\} =\{x\mid x>\tfrac14\}.
Em notação de intervalo, a solução é
\bigl(\tfrac14,\infty\bigr).

Resposta

\bigl(\tfrac14,\infty\bigr).
Na reta real, representa-se com um círculo aberto em \tfrac14 e um segmento que se estende para a direita até +\infty.

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