Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado
de cada número.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
.
As coisas que ele pede são:
As coisas que ele pede são:
- Representar
no plano de Argand (ou plano complexo). - Determinar o módulo de
. - Determinar o argumento de
. - Representar o conjugado
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O número é puramente imaginário e negativo:
. - Portanto a parte real é
e a parte imaginária é .
Passo 2
Entender como colocar um número complexo no plano de Argand (passo-a-passo didático).
- Um número complexo
é escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. - No plano de Argand, o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária. Assim o ponto que representa
tem coordenadas .
Aplicando ao nosso caso:
- Para
temos e . - Logo o ponto que representa
no plano de Argand é .
Dica prática: se
o ponto está sobre o eixo imaginário; se
está abaixo da origem.
Passo 3
Como desenhar/representar mentalmente (ou no rascunho da prova) o ponto
:
- Trace o eixo horizontal (real) e o eixo vertical (imaginário).
- Marque a origem
. - Desça 3 unidades ao longo do eixo imaginário (porque
). - Coloque um ponto e, opcionalmente, escreva
ao lado.
Observação geométrica útil: o conjugado reflete esse ponto em relação ao eixo real (isto será usado no Passo 6).
Passo 4
Definição e cálculo do módulo (aula rápida).
- O módulo de um número complexo
é a distância do ponto até a origem e se calcula por
- Aqui
e .
Aplicando ao nosso
:
- Substituindo
e temos
Interpretação: a distância da origem ao ponto
é
.
Exemplo extra (para fixar): se
, então
Isso ilustra a fórmula do teorema de Pitágoras aplicada ao plano de Argand.
Passo 5
Definição e cálculo do argumento (aula rápida).
- O argumento de
, escrito , é o ângulo que o vetor posição do ponto faz com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário. - Uma fórmula comum é
, mas essa fórmula precisa de cuidado: o valor de dá um ângulo principal que deve ser ajustado conforme o quadrante onde está. - Existem casos especiais quando
: - Se
e , então . - Se
e , então (ou equivalentemente se preferir um ângulo em ).
- Se
- O argumento não é único: a família completa é
, com . Normalmente usamos o argumento principal no intervalo .
Aplicando ao nosso
(caso especial com
):
- Temos
e . Portanto o ângulo é
- Forma geral (todas as possibilidades) é
Comentário intuitivo: o vetor vai apontar exatamente para baixo a partir da origem, que corresponde a
ou
.
Passo 6
Definição e representação do conjugado (aula rápida).
- O conjugado de
é . Geometricamente, é o reflexo de em relação ao eixo real: mantém a coordenada real e troca o sinal da imaginária. - Para
(ou seja ), o conjugado é
ou em coordenadas o ponto
.
- No plano de Argand isso significa mover o ponto
para , uma reflexão vertical.
Resposta
Representação no plano de Argand: ponto
(no eixo imaginário, 3 unidades abaixo da origem)
Módulo:
Argumento principal:
Argumento geral:
Conjugado: (representado pelo ponto
)
Módulo:
Argumento principal:
Argumento geral:
Conjugado: