Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado \bar{z} de cada número.
z=-3 i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=-3i.
As coisas que ele pede são:
  • Representar \,z no plano de Argand (ou plano complexo).
  • Determinar o módulo de \,z.
  • Determinar o argumento de \,z.
  • Representar o conjugado \,\overline{z}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número é puramente imaginário e negativo: \,z=0-3i.
  • Portanto a parte real é \,\Re(z)=0 e a parte imaginária é \,\Im(z)=-3.

Passo 2

Entender como colocar um número complexo no plano de Argand (passo-a-passo didático).
  • Um número complexo \,z é escrito como \,z=x+iy, onde \,x é a parte real e \,y é a parte imaginária.
  • No plano de Argand, o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária. Assim o ponto que representa \,z tem coordenadas (x,y).
Aplicando ao nosso caso:
  • Para \,z=-3i temos \,x=0 e \,y=-3.
  • Logo o ponto que representa \,z no plano de Argand é (0,-3).
Dica prática: se \,x=0 o ponto está sobre o eixo imaginário; se \,y<0 está abaixo da origem.

Passo 3

Como desenhar/representar mentalmente (ou no rascunho da prova) o ponto (0,-3):
  • Trace o eixo horizontal (real) e o eixo vertical (imaginário).
  • Marque a origem (0,0).
  • Desça 3 unidades ao longo do eixo imaginário (porque \Im(z)=-3).
  • Coloque um ponto e, opcionalmente, escreva \,z=-3i ao lado.
Observação geométrica útil: o conjugado reflete esse ponto em relação ao eixo real (isto será usado no Passo 6).

Passo 4

Definição e cálculo do módulo (aula rápida).
  • O módulo de um número complexo \,z=x+iy é a distância do ponto (x,y) até a origem e se calcula por
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Aqui \,x=\Re(z) e \,y=\Im(z).
Aplicando ao nosso \,z:
  • Substituindo \,x=0 e \,y=-3 temos
|z|=\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3.
Interpretação: a distância da origem ao ponto (0,-3) é 3.
Exemplo extra (para fixar): se \,w=3+4i, então
|w|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Isso ilustra a fórmula do teorema de Pitágoras aplicada ao plano de Argand.

Passo 5

Definição e cálculo do argumento (aula rápida).
  • O argumento de \,z=x+iy, escrito \arg(z), é o ângulo que o vetor posição do ponto (x,y) faz com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário.
  • Uma fórmula comum é \arg(z)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), mas essa fórmula precisa de cuidado: o valor de \arctan dá um ângulo principal que deve ser ajustado conforme o quadrante onde (x,y) está.
  • Existem casos especiais quando x=0:
    • Se x=0 e y>0, então \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}.
    • Se x=0 e y<0, então \arg(z)=-\dfrac{\pi}{2} (ou equivalentemente \arg(z)=\dfrac{3\pi}{2} se preferir um ângulo em [0,2\pi)).
  • O argumento não é único: a família completa é \arg(z)=\theta+2k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Normalmente usamos o argumento principal \operatorname{Arg}(z) no intervalo (-\pi,\pi].
Aplicando ao nosso \,z (caso especial com x=0):
  • Temos x=0 e y=-3<0. Portanto o ângulo é
\operatorname{Arg}(z)=-\dfrac{\pi}{2}.
  • Forma geral (todas as possibilidades) é
\arg(z)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Comentário intuitivo: o vetor vai apontar exatamente para baixo a partir da origem, que corresponde a -90^\circ ou -\dfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Definição e representação do conjugado (aula rápida).
  • O conjugado de \,z=x+iy é \,\overline{z}=x-iy. Geometricamente, \overline{z} é o reflexo de \,z em relação ao eixo real: mantém a coordenada real e troca o sinal da imaginária.
  • Para \,z=-3i (ou seja (0,-3)), o conjugado é
\overline{z}=0+3i=3i,
ou em coordenadas o ponto (0,3).
  • No plano de Argand isso significa mover o ponto (0,-3) para (0,3), uma reflexão vertical.

Resposta

Representação no plano de Argand: ponto (0,-3) (no eixo imaginário, 3 unidades abaixo da origem)
Módulo: |z|=3
Argumento principal: \operatorname{Arg}(z)=-\dfrac{\pi}{2}
Argumento geral: \arg(z)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
Conjugado: \overline{z}=3i (representado pelo ponto (0,3))

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