Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado \bar{z} de cada número.
z=-1-i

Passo 1

O enunciado dá um número complexo z=-1-i e pede três coisas:
  • Representar z no plano de Argand (ou seja, indicar o ponto correspondente).
  • Determinar o módulo de z.
  • Determinar o argumento de z.
  • Representar também o conjugado \bar{z} (ou seja, indicar o ponto de \bar{z} no plano) e seus dados relevantes.
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real de z: \operatorname{Re}(z)=-1.
  • Parte imaginária de z: \operatorname{Im}(z)=-1.

Passo 2

O que significa representar no plano de Argand e como mapear um complexo para um ponto:
  • Um número complexo z=x+iy corresponde ao ponto de coordenadas (x,y) no plano, onde o eixo horizontal é a parte real e o eixo vertical é a parte imaginária.
  • Para z=-1-i temos x=-1 e y=-1. Logo o ponto é (-1,-1).
    Como desenhar (passo a passo para fazer na prova, sem desenhar aqui): marque o eixo real horizontal, o eixo imaginário vertical, vá para a esquerda até -1 e para baixo até -1; o ponto ali é z.

Passo 3

Definição e cálculo do módulo:
  • Para z=x+iy, o módulo |z| é a distância do ponto (x,y) à origem e é dado por |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Aplicando a z=-1-i: x=-1, y=-1.
|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Expliquei: cada coordenada quadrada, somo e tiro raiz — é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado com a origem.

Passo 4

Definição e cálculo do argumento (ângulo) — cuidado com quadrantes:
  • O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{y}{x}, mas a fórmula direta do arco-tangente dá apenas um ângulo de referência: é preciso ajustar pelo quadrante onde o ponto está.
  • Para z=-1-i: \dfrac{y}{x}=\dfrac{-1}{-1}=1. Um ângulo de referência é \dfrac{\pi}{4} (45°), porque \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
  • Agora o quadrante: x<0 e y<0 coloca o ponto no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo é \pi mais o ângulo de referência, isto é
\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
  • Observação sobre o argumento principal: muitas vezes usamos o argumento principal \operatorname{Arg}(z) no intervalo (-\pi,\pi]. Como \dfrac{5\pi}{4} é maior que \pi, a forma equivalente no intervalo (-\pi,\pi] é
\operatorname{Arg}(z)=-\frac{3\pi}{4},
pois \dfrac{5\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{4}. Ambos representam a mesma direção; escolha conforme a convenção pedida na prova (se pedirem “o argumento”, normalmente vale informar o argumento principal).

Passo 5

Forma polar e resumo para z:
  • Em forma polar (módulo r e argumento \theta) pode-se escrever
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
  • Para z obtivemos r=\sqrt{2} e, usando \theta=\dfrac{5\pi}{4},
z=\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\bigr).

Passo 6

Conjugado \bar{z}: definição, representação e cálculos
  • Definição: se z=x+iy então \bar{z}=x-iy. Geometricamente, \bar{z} é o simétrico de z em relação ao eixo real (mesma abscissa, ordenada com sinal trocado).
  • Para z=-1-i temos \bar{z}=-1+ i.
  • Coordenadas: \bar{z} corresponde ao ponto (-1,+1) no plano (ir à esquerda -1 e para cima +1).
  • Módulo de \bar{z}: mesma distância à origem, portanto
|\bar{z}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento de \bar{z}: \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{-1}=-1. O ângulo de referência é \dfrac{\pi}{4} mas agora x<0 e y>0 corresponde ao segundo quadrante, então
\operatorname{Arg}(\bar{z})=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
  • Em forma polar:
\bar{z}=\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (como não errar):
  • Sempre escreva x e y explicitamente antes de aplicar \tan^{-1}.
  • Use o sinal de x e y para escolher o quadrante: I (+,+), II (- ,+), III (-,-), IV (+,-).
  • Se pedirem “argumento” sem especificar, escreva o argumento geral (como \tfrac{5\pi}{4}+2k\pi) e o argumento principal se for solicitado ou comum na disciplina.

Resposta

z no plano de Argand: ponto (-1,-1).
|z|=\sqrt{2}.
\arg(z)=\dfrac{5\pi}{4} (argumento geral) e \operatorname{Arg}(z)=-\dfrac{3\pi}{4} (argumento principal em (-\pi,\pi]).
\bar{z}=-1+i (ponto (-1,1)).
|\bar{z}|=\sqrt{2}.
\arg(\bar{z})=\dfrac{3\pi}{4}.

Exercícios relacionados