Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado
de cada número.
Passo 1
O enunciado dá um número complexo
e pede três coisas:
- Representar
no plano de Argand (ou seja, indicar o ponto correspondente). - Determinar o módulo de
. - Determinar o argumento de
. - Representar também o conjugado
(ou seja, indicar o ponto de no plano) e seus dados relevantes.
Informações relevantes fornecidas:
- Parte real de
: . - Parte imaginária de
: .
Passo 2
O que significa representar no plano de Argand e como mapear um complexo para um ponto:
- Um número complexo
corresponde ao ponto de coordenadas no plano, onde o eixo horizontal é a parte real e o eixo vertical é a parte imaginária. - Para
temos e . Logo o ponto é .
Como desenhar (passo a passo para fazer na prova, sem desenhar aqui): marque o eixo real horizontal, o eixo imaginário vertical, vá para a esquerda atée para baixo até ; o ponto ali é .
Passo 3
Definição e cálculo do módulo:
- Para
, o módulo é a distância do ponto à origem e é dado por . - Aplicando a
: , .
Expliquei: cada coordenada quadrada, somo e tiro raiz — é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado com a origem.
Passo 4
Definição e cálculo do argumento (ângulo) — cuidado com quadrantes:
- O argumento
satisfaz , mas a fórmula direta do arco-tangente dá apenas um ângulo de referência: é preciso ajustar pelo quadrante onde o ponto está. - Para
: . Um ângulo de referência é (45°), porque . - Agora o quadrante:
e coloca o ponto no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo é mais o ângulo de referência, isto é
- Observação sobre o argumento principal: muitas vezes usamos o argumento principal
no intervalo . Como é maior que , a forma equivalente no intervalo é
pois
. Ambos representam a mesma direção; escolha conforme a convenção pedida na prova (se pedirem “o argumento”, normalmente vale informar o argumento principal).
Passo 5
Forma polar e resumo para
:
- Em forma polar (módulo
e argumento ) pode-se escrever
- Para
obtivemos e, usando ,
Passo 6
Conjugado
: definição, representação e cálculos
- Definição: se
então . Geometricamente, é o simétrico de em relação ao eixo real (mesma abscissa, ordenada com sinal trocado). - Para
temos . - Coordenadas:
corresponde ao ponto no plano (ir à esquerda e para cima ). - Módulo de
: mesma distância à origem, portanto
- Argumento de
: . O ângulo de referência é mas agora e corresponde ao segundo quadrante, então
- Em forma polar:
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como não errar):
- Sempre escreva
e explicitamente antes de aplicar . - Use o sinal de
e para escolher o quadrante: I , II , III , IV . - Se pedirem “argumento” sem especificar, escreva o argumento geral (como
) e o argumento principal se for solicitado ou comum na disciplina.