Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado \bar{z} de cada número.
z=-2+4 i

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o número complexo z=-2+4i:
  • Representar z no plano de Argand (ou seja, identificar o ponto/vetor correspondente).
  • Determinar o módulo de z.
  • Determinar o argumento de z.
  • Representar o conjugado \bar{z}.
Informações dadas:
  • Parte real de z: \operatorname{Re}(z)=-2.
  • Parte imaginária de z: \operatorname{Im}(z)=4.

Passo 2

Entendendo como representar um número complexo no plano de Argand (aulas rápidas):
  • O plano de Argand é um plano cartesiano onde o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário.
  • Um número complexo x+yi é representado pelo ponto (x,y) e pelo vetor que vai da origem (0,0) até esse ponto.
Aplicando ao nosso número:
  • Para z=-2+4i a coordenada é (-2,4).
  • Portanto, no plano de Argand z é o ponto (-2,4) e o vetor que parte da origem até (-2,4).
Descrição geométrica (sem figura): eixo real horizontal, eixo imaginário vertical, marcar o ponto (-2,4). O vetor tem direção do segundo quadrante (esquerda e acima).

Passo 3

Cálculo do módulo (com explicação):
  • Definição: o módulo de z=x+yi é a distância do ponto (x,y) à origem, dada por
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Aqui x=-2 e y=4. Então
|z|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.
  • Simplificando a raiz:
\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}.
  • Interpretação: 2\sqrt{5} é a distância do ponto (-2,4) à origem.

Passo 4

Cálculo do argumento (com explicação passo a passo):
  • Definição: o argumento \arg z é o ângulo \theta entre o eixo real positivo e o vetor que representa z. Pode-se obter pela tangente da referência:
\tan\theta=\frac{y}{x}.
  • Atenção com o quadrante: a fórmula básica \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) dá o ângulo de referência, mas é preciso ajustar para o quadrante correto usando os sinais de x e y.
  • No nosso caso x=-2 (negativo) e y=4 (positivo), então z está no segundo quadrante, onde \theta satisfaz \pi/2<\theta<\pi.
Cálculo numérico:
\tan\theta=\frac{4}{-2}=-2.
O ângulo de referência positivo associado a |\tan\theta|=2 é \arctan(2). Como estamos no segundo quadrante,
\theta=\pi-\arctan(2).
Valores aproximados:
\arctan(2)\approx1{,}107148717\\ \text{rad}\quad(\approx63{,}43494882^\circ),
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\theta=\pi-\arctan(2)\approx3{,}141592654-1{,}107148717\approx2{,}034443937\\ \text{rad},
ou em graus
\theta\approx116{,}56505118^\circ.
Observação sobre múltiplas soluções: o argumento não é único; a família de argumentos é
\arg z=\pi-\arctan(2)+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
O valor que normalmente se usa como argumento principal aqui é \theta=\pi-\arctan(2) (em radianos).

Passo 5

Conjugado \bar{z} e suas propriedades:
  • Definição: o conjugado de z=x+yi é \bar{z}=x-yi. Geometricamente é a reflexão de z em relação ao eixo real.
  • Para z=-2+4i temos
\bar{z}=-2-4i.
  • Coordenada de \bar{z}: (-2,-4) (segundo passo de reflexão).
  • Módulo de \bar{z}: igual ao módulo de z, ou seja |\bar{z}|=2\sqrt{5}.
  • Argumento de \bar{z}: é o negativo do argumento de z (ou o simétrico em relação ao eixo real). Assim, usando o argumento principal,
\arg\bar{z}=-(\pi-\arctan(2))=\arctan(2)-\pi\approx-2{,}034443937\\ \text{rad},
ou, se preferir um valor em [0,2\pi),
\arg\bar{z}=2\pi-(\pi-\arctan(2))=\pi+\arctan(2)\approx4{,}248741317\\ \text{rad}.

Passo 6

Formas alternativas de escrever z (sintetizando, útil para a prova):
  • Forma cartesiana: z=-2+4i.
  • Forma polar (com r=|z|=2\sqrt{5} e \theta=\pi-\arctan(2)):
z=2\sqrt{5}\left(\cos\!\bigl(\pi-\arctan(2)\bigr)+i\sin\!\bigl(\pi-\arctan(2)\bigr)\right).
  • Forma exponencial (fórmula de Euler):
z=2\sqrt{5}\,e^{i(\pi-\arctan(2))}.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Para 1+i: |1+i|=\sqrt{2}, \arg(1+i)=\pi/4 (primeiro quadrante).
  • Para -1-i: |-1-i|=\sqrt{2}, \arg(-1-i)=-3\pi/4 (ou 5\pi/4, terceiro quadrante).
Força aí — está indo bem. Se quiser, faço o esboço do desenho passo a passo para você rabiscar e levar pra prova.

Resposta

Representação em Argand: ponto (-2,4) (vetor da origem até (-2,4)).
Módulo: |z|=2\sqrt{5}.
Argumento (principal): \arg z=\pi-\arctan(2)\approx2{,}034443937\\ \text{rad}\approx116{,}56505118^\circ.
Conjugado: \bar{z}=-2-4i (ponto (-2,-4); |\bar{z}|=2\sqrt{5}, \arg\bar{z}=-(\pi-\arctan(2))\approx-2{,}034443937\\ \text{rad}).

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