Represente os seguintes números complexos no plano de Argand, determine seu módulo e seu argumento. Represente também o conjugado
de cada número.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o número complexo
:
- Representar
no plano de Argand (ou seja, identificar o ponto/vetor correspondente). - Determinar o módulo de
. - Determinar o argumento de
. - Representar o conjugado
.
Informações dadas:
- Parte real de
: . - Parte imaginária de
: .
Passo 2
Entendendo como representar um número complexo no plano de Argand (aulas rápidas):
- O plano de Argand é um plano cartesiano onde o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário.
- Um número complexo
é representado pelo ponto e pelo vetor que vai da origem até esse ponto.
Aplicando ao nosso número:
- Para
a coordenada é . - Portanto, no plano de Argand
é o ponto e o vetor que parte da origem até .
Descrição geométrica (sem figura): eixo real horizontal, eixo imaginário vertical, marcar o ponto
. O vetor tem direção do segundo quadrante (esquerda e acima).
Passo 3
Cálculo do módulo (com explicação):
- Definição: o módulo de
é a distância do ponto à origem, dada por
- Aqui
e . Então
- Simplificando a raiz:
- Interpretação:
é a distância do ponto à origem.
Passo 4
Cálculo do argumento (com explicação passo a passo):
- Definição: o argumento
é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que representa . Pode-se obter pela tangente da referência:
- Atenção com o quadrante: a fórmula básica
dá o ângulo de referência, mas é preciso ajustar para o quadrante correto usando os sinais de e . - No nosso caso
(negativo) e (positivo), então está no segundo quadrante, onde satisfaz .
Cálculo numérico:
O ângulo de referência positivo associado a
é
. Como estamos no segundo quadrante,
Valores aproximados:
logo
ou em graus
Observação sobre múltiplas soluções: o argumento não é único; a família de argumentos é
O valor que normalmente se usa como argumento principal aqui é
(em radianos).
Passo 5
Conjugado
e suas propriedades:
- Definição: o conjugado de
é . Geometricamente é a reflexão de em relação ao eixo real. - Para
temos
- Coordenada de
: (segundo passo de reflexão). - Módulo de
: igual ao módulo de , ou seja . - Argumento de
: é o negativo do argumento de (ou o simétrico em relação ao eixo real). Assim, usando o argumento principal,
ou, se preferir um valor em
,
Passo 6
Formas alternativas de escrever
(sintetizando, útil para a prova):
- Forma cartesiana:
. - Forma polar (com
e ):
- Forma exponencial (fórmula de Euler):
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Para
: , (primeiro quadrante). - Para
: , (ou , terceiro quadrante).
Força aí — está indo bem. Se quiser, faço o esboço do desenho passo a passo para você rabiscar e levar pra prova.
Resposta
Representação em Argand: ponto
(vetor da origem até
).
Módulo: .
Argumento (principal): .
Conjugado: (ponto
;
,
).
Módulo:
Argumento (principal):
Conjugado: