Uma reserva florestal possui 10.000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é y(t)=10000 cdot 2^-t.

Passo 1

A questão diz que temos uma reserva com 10 000 árvores e que a evolução dessa quantidade ao longo dos anos é dada por y(t)=10000·2⁻ᵗ. O objetivo é descobrir em que ano a quantidade de árvores chega a uma oitava parte do valor inicial. O conteúdo aqui é decaimento exponencial e vamos usar propriedades de potências para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar qual é a quantia correspondente a uma oitava parte de 10 000 árvores. Uma oitava parte de 10 000 é dada por:\n\n1250 = \frac{10000}{8}

Passo 3

Agora igualamos a função y(t) ao valor 1250 e isolamos a potência de base 2:\n10000 \cdot 2^{-t} = 1250\
2^{-t} = \frac{1250}{10000} = \frac{1}{8}

Passo 4

Repare que tfrac18 = 2^-3. Como a função exponencial com base 2 é injetiva, basta igualar os expoentes:\n- t = -3\
t = 3

Passo 5

Portanto, levam-se 3 anos para que a quantidade de árvores caia à oitava parte do valor inicial.

Resposta

3 anos

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