Que resistência R deve ser ligada em série com uma indutância L=224 \mathrm{mH} e uma capacitância C=12,5 \mu \mathrm{~F} para que a carga máxima do capacitor caia para 98,1 \% do valor inicial após 50 ciclos? (Suponha que \omega^{\prime} \approx \omega.) Dê sua resposta em ohms (\Omega).
\begin{array}{lllll}\text { (a) } 0,019 & 0,003 & \text { \text{(c)} } 0,007 & \text { (d) } 0,010 & \text { (e) } 0,013\end{array} (f) 0,016

Passo 1

O enunciado pede a resistência R que faz a amplitude da carga do capacitor decair a 98,1\% do valor inicial após 50 ciclos.
Nesse regime subamortecido, a envoltória decai como \exp(-\alpha t) com
\alpha = \frac{R}{2L},
e a frequência amortecida satisfaz \omega' \approx \omega = 1/\sqrt{LC}.

Passo 2

Após N ciclos a envoltória obedece
\exp\bigl(-\alpha\,T\,N\bigr)=0,981,
onde T=2\pi/\omega. Substituindo \alpha=R/(2L) e T obtemos
\exp\!\Bigl(-\frac{R}{2L}\,\frac{2\pi N}{\omega}\Bigr)=0,981.

Passo 3

Fazendo o logaritmo e isolando R, vem
-\frac{R}{2L}\,\frac{2\pi N}{\omega} = \ln(0,981) \quad\Longrightarrow\quad R = -\frac{2L\,\omega\,\ln(0,981)}{2\pi\,N}.

Passo 4

Calculando numericamente:
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0,224\,\times\,12,5\times10^{-6}}} \approx 597,4\\ \text{rad/s}.
Como \ln(0,981)\approx -0,0192 e N=50,
R \approx -\frac{2\times0,224\times597,4\times(-0,0192)}{2\pi\times50} \approx 0,0163\\ \Omega.

Resposta

\;0,016\\ \Omega (alternativa f)

Exercícios relacionados