Determine os pontos críticos de
aplicando o método de Newton à equação
. Classifique cada ponto crítico encontrado.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que se determinem os pontos críticos aplicando o método de Newton à equação
. As perguntas concretas são:
- Resolver
usando o método de Newton (ou seja, aplicar Newton para encontrar as raízes de ). - Classificar cada ponto crítico encontrado (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Informações relevantes fornecidas: - A função é
. - A equação a ser resolvida é
, onde é a derivada de .
Passo 2
Explicando o método de Newton (passo-a-passo curto e prático).
- O método de Newton é uma forma iterativa de aproximar raízes de uma equação
. - A fórmula de iteração é
- No nosso caso queremos resolver
. Logo escolhemos e usaremos
- Interpretação: em cada passo aproximamos
pela reta tangente em e usamos a raiz dessa reta como próxima aproximação. Para o método funcionar bem é necessário que (para não dividir por zero) e que a aproximação inicial esteja numa região onde a iteração converge.
Passo 3
Calcular
e
explicitamente (isso é necessário para aplicar Newton).
Fatorando:
A segunda derivada é
Passo 4
Aplicar a fórmula de Newton específica para
. Substituindo
na fórmula:
Usando as expressões encontradas:
Fatorando um
e simplificando o numerador e denominador:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Portanto a forma mais simples da iteração é
Passo 5
Observações sobre a iteração e pontos a evitar.
- A iteração não pode ser usada se
, isto é, em (essas são singularidades da iteração). - As raízes exatas de
podem ser lidas do fatoramento de : . O método de Newton visa aproximá-las; como são raízes simples (multiplicidade 1) espera-se convergência quadrática quando a estimativa inicial estiver numa boa vizinhança.
Passo 6
Mostrar iterações de Newton que conduzem a cada raiz (escolhas simples de
que demonstram o processo). Vou escolher
simples que dêem passos fáceis de calcular à mão e ilustrem a convergência.
Para a raiz
:
- Escolha
. Então, pela fórmula
Em apenas uma iteração chega-se exatamente à raiz
. (Isto acontece porque a expressão racional dá exatamente
para
.)
Para a raiz
:
- Escolha
. Então
Também em uma iteração chega-se exatamente à raiz
.
Para a raiz
:
- Escolha
(um valor pequeno). Então
Já
está muito próximo de
; uma segunda iteração dará um valor ainda mais próximo de
. Assim Newton converge rapidamente para
quando a aproximação inicial está próxima de zero.
Comentário prático: como
estava fatorada, identificamos diretamente as raízes
. Usei Newton para mostrar a iteração prática e como escolhas simples de
levam rapidamente às raízes.
Passo 7
Classificação dos pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
- O teste da segunda derivada diz: se
então é mínimo local; se então é máximo local; se o teste é inconclusivo.
Calcularnos pontos críticos:
Avaliações:
logo
é um máximo local.
logo
é um mínimo local.
logo
é um mínimo local.
Passo 8
Calcular os valores de
nos pontos críticos (útil para comparar alturas):