Determine os pontos críticos de g(x)=x^{4}-8 x^{2}+3 aplicando o método de Newton à equação g^{\prime}(x)=0. Classifique cada ponto crítico encontrado.

Passo 1

O enunciado nos dá a função g(x)=x^{4}-8x^{2}+3 e pede que se determinem os pontos críticos aplicando o método de Newton à equação g'(x)=0. As perguntas concretas são:
  • Resolver g'(x)=0 usando o método de Newton (ou seja, aplicar Newton para encontrar as raízes de g'(x)).
  • Classificar cada ponto crítico encontrado (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
    Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x)=x^{4}-8x^{2}+3.
  • A equação a ser resolvida é g'(x)=0, onde g' é a derivada de g.

Passo 2

Explicando o método de Newton (passo-a-passo curto e prático).
  • O método de Newton é uma forma iterativa de aproximar raízes de uma equação h(x)=0.
  • A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{h(x_n)}{h'(x_n)}.
  • No nosso caso queremos resolver g'(x)=0. Logo escolhemos h(x)=g'(x) e usaremos
x_{n+1}=x_n-\frac{g'(x_n)}{g''(x_n)}.
  • Interpretação: em cada passo aproximamos h pela reta tangente em x_n e usamos a raiz dessa reta como próxima aproximação. Para o método funcionar bem é necessário que g''(x_n)\neq0 (para não dividir por zero) e que a aproximação inicial esteja numa região onde a iteração converge.

Passo 3

Calcular g'(x) e g''(x) explicitamente (isso é necessário para aplicar Newton).
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-8x^{2}+3\bigr)=4x^{3}-16x.
Fatorando:
g'(x)=4x(x^{2}-4)=4x(x-2)(x+2).
A segunda derivada é
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-16x\bigr)=12x^{2}-16.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Newton específica para g'(x)=0. Substituindo h=g' na fórmula:
x_{n+1}=x_n-\frac{g'(x_n)}{g''(x_n)}.
Usando as expressões encontradas:
x_{n+1}=x_n-\frac{4x_n^{3}-16x_n}{12x_n^{2}-16}.
Fatorando um 4 e simplificando o numerador e denominador:
x_{n+1}=x_n-\frac{4x_n(x_n^{2}-4)}{4(3x_n^{2}-4)} = x_n-\frac{x_n(x_n^{2}-4)}{3x_n^{2}-4}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
x_{n+1}=x_n\left(1-\frac{x_n^{2}-4}{3x_n^{2}-4}\right) = x_n\cdot\frac{2x_n^{2}}{3x_n^{2}-4}.
Portanto a forma mais simples da iteração é
x_{n+1}=\frac{2x_n^{3}}{3x_n^{2}-4}.

Passo 5

Observações sobre a iteração e pontos a evitar.
  • A iteração não pode ser usada se 3x_n^{2}-4=0, isto é, em x_n=\pm\sqrt{\tfrac{4}{3}} (essas são singularidades da iteração).
  • As raízes exatas de g'(x) podem ser lidas do fatoramento de g'(x): x=-2,\,0,\,2. O método de Newton visa aproximá-las; como são raízes simples (multiplicidade 1) espera-se convergência quadrática quando a estimativa inicial estiver numa boa vizinhança.

Passo 6

Mostrar iterações de Newton que conduzem a cada raiz (escolhas simples de x_0 que demonstram o processo). Vou escolher x_0 simples que dêem passos fáceis de calcular à mão e ilustrem a convergência.
Para a raiz x=-2:
  • Escolha x_0=1. Então, pela fórmula
x_{1}=\frac{2\cdot 1^{3}}{3\cdot 1^{2}-4}=\frac{2}{3-4}=\frac{2}{-1}=-2.
Em apenas uma iteração chega-se exatamente à raiz x=-2. (Isto acontece porque a expressão racional dá exatamente -2 para x_0=1.)
Para a raiz x=2:
  • Escolha x_0=-1. Então
x_{1}=\frac{2\cdot(-1)^{3}}{3\cdot(-1)^{2}-4}=\frac{2\cdot(-1)}{3-4}=\frac{-2}{-1}=2.
Também em uma iteração chega-se exatamente à raiz x=2.
Para a raiz x=0:
  • Escolha x_0=0{,}1 (um valor pequeno). Então
x_{1}=\frac{2\cdot(0{,}1)^{3}}{3\cdot(0{,}1)^{2}-4} =\frac{2\cdot 0{,}001}{3\cdot 0{,}01-4} =\frac{0{,}002}{0{,}03-4} =\frac{0{,}002}{-3{,}97}\approx -0{,}000504.
x_{1} está muito próximo de 0; uma segunda iteração dará um valor ainda mais próximo de 0. Assim Newton converge rapidamente para x=0 quando a aproximação inicial está próxima de zero.
Comentário prático: como g'(x) estava fatorada, identificamos diretamente as raízes x=-2,0,2. Usei Newton para mostrar a iteração prática e como escolhas simples de x_0 levam rapidamente às raízes.

Passo 7

Classificação dos pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
  • O teste da segunda derivada diz: se g''(x_c)>0 então x_c é mínimo local; se g''(x_c)<0 então x_c é máximo local; se g''(x_c)=0 o teste é inconclusivo.
    Calcular g'' nos pontos críticos:
g''(x)=12x^{2}-16.
Avaliações:
g''(0)=12\cdot 0^{2}-16=-16<0,
logo x=0 é um máximo local.
g''(2)=12\cdot 2^{2}-16=12\cdot 4-16=48-16=32>0,
logo x=2 é um mínimo local.
g''(-2)=12\cdot (-2)^{2}-16=12\cdot 4-16=32>0,
logo x=-2 é um mínimo local.

Passo 8

Calcular os valores de g nos pontos críticos (útil para comparar alturas):
g(0)=0^{4}-8\cdot 0^{2}+3=3,
g(2)=2^{4}-8\cdot 2^{2}+3=16-32+3=-13,
g(-2)=(-2)^{4}-8\cdot(-2)^{2}+3=16-32+3=-13.

Resposta

x=-2 é ponto de mínimo local, com g(-2)=-13
x=0 é ponto de máximo local, com g(0)=3
x=2 é ponto de mínimo local, com g(2)=-13

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