Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que 10^{-5}.
(d) f(x)=x^{4}-x-10, \quad x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Newton–Raphson para aproximar uma raiz da função f(x)=x^{4}-x-10 partindo de x_{0}=2, de modo que o erro absoluto da aproximação seja menor que 10^{-5}.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{4}-x-10.
  • Derivada: será necessária para o método.
  • Aproximação inicial: x_{0}=2.
  • Critério de erro: erro absoluto menor que 10^{-5}.
O que vamos entregar: uma sequência de iterações de Newton com explicação passo a passo até que a aproximação satisfaça o critério solicitado.

Passo 2

Explicação do método (aula rápida, sem pular etapas).
O método de Newton–Raphson gera uma sequência \{x_{n}\} com a fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde:
  • x_{n} é a aproximação atual da raiz;
  • f(x_{n}) é o valor da função no ponto x_{n};
  • f'(x_{n}) é a derivada de f no ponto x_{n};
  • a fração \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é a correção que subtraios de x_n para obter x_{n+1}.
Intuição simples: em x_n substitui-se a curva por sua reta tangente e toma-se a interseção dessa reta com o eixo x; isso tende a convergir muito rápido se a aproximação inicial for razoável.
Critério prático de parada que vamos usar: parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-5}. Esse critério garante que a aproximação já mudou pouco e, próximo da raiz, a diferença entre iterações é uma boa estimativa do erro absoluto.

Passo 3

Calcular a derivada e preparar as expressões necessárias.
A derivada de f é
f'(x)=4x^{3}-1.
A fórmula iterativa específica para este problema é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{4}-x_{n}-10}{4x_{n}^{3}-1}.
Agora aplicamos as iterações numericamente a partir de x_{0}=2. Em cada passo vou mostrar f(x_n), f'(x_n), a correção \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} e o novo x_{n+1}.

Passo 4

Iteração 0 → 1 (cálculo explícito):
  • x_{0}=2.
  • f(x_{0})=2^{4}-2-10=16-2-10=4.
  • f'(x_{0})=4\cdot2^{3}-1=32-1=31.
  • Correção: \dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=\dfrac{4}{31}.
  • Portanto
x_{1}=2-\dfrac{4}{31}=\dfrac{58}{31}\approx 1{,}8709677419354839.

Passo 5

Iteração 1 → 2 (usei frações exatas quando possível para reduzir erros):
  • x_{1}=\dfrac{58}{31}.
  • Calculei exatamente f\!\left(\dfrac{58}{31}\right)=\left(\dfrac{58}{31}\right)^{4}-\dfrac{58}{31}-10 =\dfrac{11\,316\,496}{923\,521}-\dfrac{1\,727\,878}{923\,521}-\dfrac{9\,235\,210}{923\,521} =\dfrac{353\,408}{923\,521}.Em decimal isso é aproximadamente f(x_{1})\approx 0{,}382653.
  • A derivada em x_{1} (também em forma racional) f'(x_{1})=4\left(\dfrac{58}{31}\right)^{3}-1=\dfrac{750\,657}{29\,791}\approx 25{,}197614.
  • Correção: \dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\dfrac{353\,408/923\,521}{750\,657/29\,791} \approx 0{,}01519098.
  • Assim x_{2}=x_{1}-\dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 1{,}8709677419354839-0{,}01519098\approx 1{,}8557767620.

Passo 6

Iteração 2 → 3 (aproximações decimais):
  • x_{2}\approx 1{,}8557767620.
  • Calculei (valores arredondados úteis): f(x_{2})\approx 0{,}005023238\quad(\text{pequeno, já próximo de zero}),áó
f'(x_{2})=4x_{2}^{3}-1\approx 24{,}56132.
  • Correção: \dfrac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx \dfrac{0{,}005023238}{24{,}56132}\approx 0{,}0002045.
  • Então x_{3}=x_{2}-0{,}0002045\approx 1{,}855572262.
  • Diferença entre iterações: |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}0002045>10^{-5}. Ainda não atingimos a tolerância, mas estamos muito próximos.

Passo 7

Iteração 3 → 4 (última, porque já ficamos abaixo do critério):
  • x_{3}\approx 1{,}855572262.
  • Avaliando a função (aproximação): f(x_{3})\approx 7{,}74\times10^{-6}.(está já da ordem de 10^{-6}.)
  • Derivada: f'(x_{3})=4x_{3}^{3}-1\approx 24{,}5529.
  • Correção: \dfrac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx \dfrac{7{,}74\times10^{-6}}{24{,}5529}\approx 3{,}15\times10^{-7}.
  • Então x_{4}=x_{3}-3{,}15\times10^{-7}\approx 1{,}855571948.
  • Diferença entre iterações: |x_{4}-x_{3}|\approx 3{,}15\times10^{-7}<10^{-5},portanto atingimos o critério de parada. Além disso f(x_{4}) será da ordem de 10^{-12} (praticamente zero para nossos propósitos), indicando boa aproximação da raiz.

Passo 8

Interpretação final e garantia do erro:
  • Paramos porque a mudança entre iterações caiu abaixo de 10^{-5}; próximo da raiz, a convergência de Newton é rápida e esse critério fornece uma boa estimativa do erro absoluto.
  • A aproximação final, arredondada convenientemente, é aquela obtida em x_{4}.

Resposta

x\approx 1{,}85557195 (erro absoluto menor que 10^{-5}).

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