Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton–Raphson para aproximar uma raiz da função
partindo de
, de modo que o erro absoluto da aproximação seja menor que
.
Informações dadas:
- Função:
. - Derivada: será necessária para o método.
- Aproximação inicial:
. - Critério de erro: erro absoluto menor que
.
O que vamos entregar: uma sequência de iterações de Newton com explicação passo a passo até que a aproximação satisfaça o critério solicitado.
Passo 2
Explicação do método (aula rápida, sem pular etapas).
O método de Newton–Raphson gera uma sequência
com a fórmula
onde:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada de no ponto ; - a fração
é a correção que subtraios de para obter .
Intuição simples: em
substitui-se a curva por sua reta tangente e toma-se a interseção dessa reta com o eixo
; isso tende a convergir muito rápido se a aproximação inicial for razoável.
Critério prático de parada que vamos usar: parar quando
. Esse critério garante que a aproximação já mudou pouco e, próximo da raiz, a diferença entre iterações é uma boa estimativa do erro absoluto.
Passo 3
Calcular a derivada e preparar as expressões necessárias.
A derivada de
é
A fórmula iterativa específica para este problema é
Agora aplicamos as iterações numericamente a partir de
. Em cada passo vou mostrar
,
, a correção
e o novo
.
Passo 4
Iteração 0 → 1 (cálculo explícito):
-
. -
. -
. - Correção:
. - Portanto
Passo 5
Iteração 1 → 2 (usei frações exatas quando possível para reduzir erros):
-
. - Calculei exatamente
Em decimal isso é aproximadamente . - A derivada em
(também em forma racional) - Correção:
- Assim
Passo 6
Iteração 2 → 3 (aproximações decimais):
-
. - Calculei (valores arredondados úteis):
- Correção:
- Então
- Diferença entre iterações:
. Ainda não atingimos a tolerância, mas estamos muito próximos.
Passo 7
Iteração 3 → 4 (última, porque já ficamos abaixo do critério):
-
. - Avaliando a função (aproximação):
(está já da ordem de .) - Derivada:
- Correção:
- Então
- Diferença entre iterações:
portanto atingimos o critério de parada. Além disso será da ordem de (praticamente zero para nossos propósitos), indicando boa aproximação da raiz.
Passo 8
Interpretação final e garantia do erro:
- Paramos porque a mudança entre iterações caiu abaixo de
; próximo da raiz, a convergência de Newton é rápida e esse critério fornece uma boa estimativa do erro absoluto. - A aproximação final, arredondada convenientemente, é aquela obtida em
.