Um resistor elétrico dissipa
de potência. O resistor é resfriado por convecção natural para o ar ambiente, que está a
. O coeficiente de transferência de calor por convecção natural é dado por
, onde
é a diferença de temperatura entre a superfície do resistor e o ar ambiente, e
é o comprimento característico do resistor, que é igual a
. Determine a temperatura da superfície do resistor.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um resistor que está dissipando 100 W de potência e está sendo resfriado pelo ar ambiente a 20°C por convecção natural. Precisamos encontrar a temperatura da superfície do resistor. Para resolver isso, vamos usar a equação da transferência de calor por convecção, que envolve o coeficiente de transferência de calor $ h $, a potência dissipada $ P $, a área de superfície $ A $ e a diferença de temperatura $ \Delta T $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da potência dissipada por convecção:
Aqui, $ P $ é a potência dissipada (100 W), $ h $ é o coeficiente de transferência de calor, $ A $ é a área da superfície do resistor e $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre a superfície do resistor e o ar ambiente.
Passo 3
Nos deram a expressão para o coeficiente de transferência de calor $ h $:
Onde $ L $ é o comprimento característico do resistor, que é 0,1 m. Vamos substituir esse valor na equação:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar $ h $ e $ \Delta T $ na equação da potência. Primeiro, precisamos saber a área $ A $ do resistor. Se não for dada, podemos assumir que o resistor é aproximadamente esférico ou cilíndrico, mas como não temos essa informação, vamos supor que a área seja uma constante ou que seja incorporada na equação de $ h $. Para simplificar, vamos considerar que $ A $ seja constante e focar em encontrar $ \Delta T $.
Passo 5
Rearranjando a equação da potência para encontrar $ \Delta T $:
Mas precisamos expressar $ h $ em termos de $ \Delta T $. Substituindo a expressão de $ h $ na equação:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos simplificar. Vamos chamar $ \left( \frac{\Delta T}{0,1} \right)^{0,25} $ de $ x $. Então:
Mas $ x = \left( \frac{\Delta T}{0,1} \right)^{0,25} $, substituindo de volta:
Essa equação é não-linear e pode ser resolvida iterativamente ou usando métodos numéricos. Porém, para simplificar, podemos assumir que a variação de $ \Delta T $ não é muito grande e tentar uma aproximação.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Mas sem o valor de $ A $, não podemos prosseguir exatamente. Então, vamos assumir que os dados fornecidos são suficientes para encontrar uma relação direta.
Passo 8
Dado que a potência dissipada é de 100 W e o resistor está sendo resfriado pela convecção natural, podemos relacionar $ P $ com $ \Delta T $ diretamente. Supondo que a área $ A $ seja pré-definida ou cancelada na equação, podemos resolver para $ \Delta T $:
Passo 9
Finalmente, a temperatura da superfície do resistor $ T_s $ é a temperatura ambiente mais a diferença de temperatura:
Resposta
A temperatura da superfície do resistor é $ T_s = 20^{\circ} \mathrm{C} + \Delta T $, onde $ \Delta T $ é determinada a partir das equações acima. Para um cálculo exato, precisaríamos da área $ A $ do resistor.