Um resistor, um indutor e um capacitor são ligados em paralelo com uma fonte CA com amplitude de voltagem V0 e frequência angular omega. Suponha que a voltagem instantânea da fonte seja dada por v(t)=V0 cos (omega t).
Desenvolva as expressões para as correntes iC, iL e iR que passam nos elementos do circuito em função das respectivas reatâncias e/ou resistências, bem como em função de V0, omega e t.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um resistor ®, um indutor (L) e um capacitor © todos ligados em paralelo a uma fonte senoidal de tensão
v(t)=V0cos(omega t)
O conteúdo é “Circuitos RLC em regime senoidal” e a gente vai usar:
  • A lei de Ohm para o resistor,
  • A relação i_C = C·dv/dt para o capacitor,
  • A relação v_L = L·di_L/dt para o indutor,
    além de definir as reatâncias
XC=1omega C, XL=omega L

Passo 2

Primeiro, a corrente que passa pelo resistor é direta, usando Ohm:
iR(t)=v(t)R=V0cos(omega t)R
Se quisermos, podemos chamar a amplitude de corrente de iR(t)=IR0cos(omega t) e escrever

Passo 3

Para o capacitor usamos a definição
iC(t)=C,dv(t)dt
Como dvdt=-V0,omegasin(omega t), a derivada é
iC(t)=Cl(-V0omegasin(omega t)r)=-V0omega Csin(omega t)
Logo
V0XC=V0omega C,
Usando iC(t)=V0XCcos!l(omega t+tfracpi2r),, a amplitude vale
e a gente pode reescrever também como
mostrando que a corrente no capacitor está adiantada de 90°.

Passo 4

Para o indutor vale
v(t)=L,diL(t)dt Longrightarrow diLdt=v(t)L=V0cos(omega t)L
Integrando em relação a iL(t)=integral V0Lcos(omega t),dt =V0L,1omegasin(omega t) =V0omega Lsin(omega t) :
iL(t)=V0XLcos!l(omega t-tfracpi2r),
Como , a amplitude é , e podemos escrever ainda
indicando que a corrente no indutor atrasa 90°.

Resposta

As correntes em cada elemento, em função de boxed iR(t)&=V0R,cos(omega t), iC(t)&=-V0omega C,sin(omega t) ;=;V0XCcosl(omega t+tfracpi2r), iL(t)&=V0omega L,sin(omega t) ;=;V0XLcosl(omega t-tfracpi2r) e das reatâncias, são:

Exercícios relacionados