Resolna a EDO
y^prime+2 x y=1

Passo 1

E aí, o exercício pede pra gente resolver a EDO
y' + 2x,y = 1
Isso é um caso de equação diferencial linear de 1ª ordem. Pra desenrolar, vamos usar o método do fator integrante. Em linhas gerais, precisamos:
  1. colocar no formato padrão y' + P(x)y = Q(x),
  2. achar o fator integrante mu(x),
  3. multiplicar tudo e reconhecer um derivado,
  4. integrar e isolar y.

Passo 2

Identificando o padrão, a equação fica
y' + P(x),y = Q(x),
onde
P(x)=2x e Q(x)=1

Passo 3

O fator integrante é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^x^2
A ideia é que, multiplicando a EDO original por mu(x), o lado esquerdo vire o derivado de mu(x),y.

Passo 4

Multiplicando a equação por e^x^2
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = e^x^2
E, pela regra do produto, o LHS é
ddxl(e^x^2yr) = e^x^2y' + (e^x^2)'y = e^x^2y' + 2x,e^x^2y
Logo a EDO vira
ddxl(e^x^2yr) = e^x^2

Passo 5

Agora é só integrar dos dois lados em x:
e^x^2y = integral e^x^2,dx + C
Repara que integral e^x^2,dx não tem antiderivada em termos de funções elementares, então a gente mantém essa integral como está.

Passo 6

Para terminar, basta isolar y:
y(x) = e^-x^2l(integral e^x^2,dx + Cr)

Resposta

y(x) = e^-x^2l(integral e^x^2,dx + Cr).

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